رویکردهای تاریخی و روش‌های نوین در تحلیل مسأله کوتاه‌ترین زمان

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسنده

دانشکده فنی و مهندسی، دانشگاه اردکان، اردکان، ایران

چکیده

در این مقاله، تاریخچه‌ای از رقابت ریاضی‌دانان در کشف ویژگی‌های منحنی چرخ‌زاد، که به «هلن هندسه» مشهور است، ارائه و برخی یادداشت‌های تاریخی مرتبط با مسأله کوتاه‌ترین زمان بیان گردیده است. همچنین شکل پارامتری این منحنی معرفی و برخی ویژگی‌ها و کاربردهای آن ارائه شده است. در ادامه مسائل حساب تغییرات و مسأله کوتاه‌ترین زمان به همراه روش‌های مختلف‌ حل آن‌ها مورد مطالعه قرار گرفته و پاسخ بهینه‌ی مسأله کوتاه‌ترین زمان به‌صورت منحنی چرخ‌زاد تعیین گردیده است. برای تحلیل دقیق‌تر مسأله کوتاه‌ترین زمان، چند رویه در نرم‌افزار میپل معرفی شده که خروجی‌ گرافیکی آن‌ها در درک بهتر این مسأله مؤثر می‌باشد. رویه‌های پیشنهادی امکان بررسی مسأله کوتاه‌ترین زمان در امتداد مسیرهایی نظیر خط مستقیم، دایره‌ای و منحنی چرخ‌زاد را فراهم نموده و مقایسه نتایج به‌دست‌آمده را ممکن ساخته است. این رویه‌ها قابلیت رسم منحنی‌های واصل بین نقاط و محاسبه عددی زمان بهینه را داشته و نشان می‌دهد که ز

کلیدواژه‌ها

موضوعات


[1] E. H. Abdul-Hafidh, (2022). A new approach to solve the Brachistochrone problem by constructing a lattice unit
cell, Heliyon, 8 no. 12 (2022) e11994.
[2] R. M. Beekman, Proof without Words: Area under a Cycloid Cusp, Math. Mag., 66 (1993) no. 1 39–39.
[3] E. T. Bell, Men of mathematics, Simon & Schuster, New York, 1937.
[4] G. P. Benham, C. Cohen, E. Brunet and C. Clanet, Brachistochrone on a velodrome, Proc. A., 476 no. 2238 (2020)
18 pp.
[5] J. Bernoulli, Problema novum ad cujus solutionem Mathematici invitantur [A new problem to whose solution
mathematicians are invited], Acta Eruditorum, 18 (1696) p. 269.
[6] J. Bernoulli, Jacobi Bernoulli solutio problematum fraternorum. Acta Eruditorum, Leipzig, 214 (1697) p. 214.
[7] ] G. Brookfield, Yet another elementary solution of the brachistochrone problem, Math. Mag., 83 no. 1 (2010)
59–63.
[8] B. Brunt, The Calculus of Variations, Springer-Verlag, New York, 2004.
[9] S. Chandrasekhar, Newton’s Principia for the common reader, The Clarendon Press, Oxford University Press, New
York, 1995.
[10] P. G. Ciarlet and C. Mardare, On the brachistochrone problem, Commun. Math. Anal. Appl., 1 (2022) no. 1
213–240.
[11] L. G. B. De Sousa and L. P. F. Lima, An educational product based on the brachistochrone problem, Int. J. Prof.
Bus. Rev., 9 no. 5 (2024) 18 p.
[12] Deterministic and stochastic dynamics: Introduction to the calculus of variations (2016), The Open University,
Milton Keynes, United Kingdom. http://www.open.edu/openlearn/ocw/mod/resource/view.php?id=72745.
[13] L. Euler, The method of finding plane curves that show some property of maximum or minimum, Lausanne and
Geneva, (1744)
[14] W. H. Fleming and R. W. Rishel, Deterministic and stochastic optimal control, Applications of Mathematics, No.
1. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1975.
[15] W. H. Fleming and H. M. Soner, Controlled markov processes and viscosity solutions, Springer-Verlag, 2006.
[16] G. Galilei, Dialogues concerning two new sciences, Dover, 1914.
[17] H. H. Goldstine, A history of the calculus of variations from the 17th through the 19th century, Studies in the
History of Mathematics and Physical Sciences, 5, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1980.
[18] S. S. Lemak and M. D. Belousova, The brachistochrone problem with constraints on the curvature of the trajectory,
IFAC-PapersOnLine, 54 no. 13 (2021) 437–442.
[19] A. K. Mallik, Optimization problems in elementary geometry, Resonance, 13 (2008) 561–582.
[20] J. Martin, The Helen of geometry, College Math. J., 41 no. 1 (2010) 17–28.
[21] S. Michel, The International Year of Basic Sciences for a Sustainable Development: 8 July 2022–6 October 2023,
Nuclear Physics News, 32 no. 4 (2022) 3–4.
[22] R. M. Mills, General relativity for students, Wiley, (2012).
[23] R. B. Nelsen, . Proofs without words: Exercises in visual thinking (Classroom Resource Materials), 1993 No. 1
MAA.
[24] Y. Nishiyama, The brachistochrone curve: The problem of quickest descent, International Journal of Pure and
Applied Mathematics, 82 no. 3 (2013) 409–419.
[25] P. J. Phillips, Brachistochrone, tautochrone, cycloid–apple of discord, Math. Teacher, 60 no. 5 (1967) 506–508.
[26] E. R. Pinch, Optimal control and the calculus of variations, Oxford Science Publications, The Clarendon Press,
Oxford University Press, New York, 1993.
[27] I. B. Russak, Calculus of variations MA 4311 lecture notes, Mathematics, Economics, (2002).
[28] R. A. Silverman, Calculus with analytic geometry, Prentice-Hall, Inc. United States, 1985.
[29] G. F. Simmons, Differential equations with applications and historical notes, Third edition, Textbooks in Mathematics,
CRC Press, Boca Raton, FL, 2017.
[30] J. Stewart, D. K. Clegg and S. Watson, Calculus: Early Transcendentals, (9th Edition), Toronto: Cengage Learning,
2021.
[31] D. J. Struik, A source book in mathematics, 1200-1800, 445, Princeton University Press, 2014.
[32] P. Sun, Y. Liu and X. Huang, Exploring the brachistochrone (shortest-time) path in fire spread, Scientific Reports,
12 no. 1 (2022).
[33] G. B. Thomas, M. D. Weir, J. Hass, F. R. Giordano and R. Korkmaz, Thomas’ calculus, 12, Boston: Pearson,
2010.
[34] J. Yoder, Unrolling Time: Christiaan Huygens and the Mathematization of Nature, Cambridge Univ. Press, 1988.
[35] E. A. Whitman, Some historical notes on the cycloid, Amer. Math. Monthly, 50 (1943) 309–315.
[36] R. Wilson, World mathematical year 2000, The Mathematical Intelligencer, 23 (2001) pp. 76.
[37] ا. اکبرلو، خ. قلی‌او.  مسائل کاربردی در ریاضیات عالی، تبریز، انتشارات محب‌المهدی، 1382.
 
[38] کیث. ر. سایمون، ترجمه ا. نیرومندراد و غ. ح. همدانی.  مکانیک، تهران، دانشگاه صنعتی شریف، مؤسسه انتشارات علمی، 1385.
 
[39] پ. شهریاری،  سرگذشت ریاضیات، تهران انتشارات مهاجر، سال 1380.
 
[40] ب. کفاش، منحنی چرخ‌زاد یا هِلِن هندسه: یادداشت‌های تاریخی و کاربردها، نوزدهمین کنفرانس ملی آموزش ریاضی ایران، 19 (1403) 1--12.
 
[41] س. ع .م. محسنی الحسینی و ه. سنمار، خانواده برنولی وحل معادله دیفرانسیل برنولی، ریاضی و جامعه، 3 no. 2 (1397) 45--58.
 
[42] م. سلیمانی ملکان, قضیهٔ مماس روبندهٔ مامیکُن، فرهنگ و اندیشه ریاضی، 42 no. 1 (1402) 129--163.