چند مثلث‌ عددیِ مشابه مثلث خیام-پاسکال

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسندگان

1 گروه علوم کامپیوتر، دانشگاه صنعتی بیرجند، بیرجند، ایران

2 گروه ریاضی، دانشگاه پیام نور، تهران، ایران

چکیده

در این مقاله نگاهی به دنیای شگفت‌انگیز مثلث‌های عددیِ مشابه مثلث خیام-پاسکال می‌اندازیم. تمرکز ما البته به مثلث‌هایی است که از اعداد طبیعی تشکیل شده‌اند. سعی کرده‌ایم علاوه بر تعابیر ترکیبیاتی و جبری اعداد مثلث‌ها، به پاره‌ای از خواص مهمِ آنها نیز اشاره کنیم ولی کمتر به جزئیات پرداخته‌ایم. البته در این بین تجزیه و تحلیلی که از روابط عناصر در مثلث چبیشف داشته‌ایم با تفصیل بیشتر بوده است که ویژگی‌های بیشتری از ساختار عددی این مثلث را روشن می‌کند. برای تقویت درک خود از این مثلث‌ها، بعضی از اثبات‌ها و تصاویر را تغییر داده‌ایم و بخصوص تصاویر جدیدی برای مثلث‌های کاتالان، بل، و چبیشف رسم کرده‌ایم.

کلیدواژه‌ها

موضوعات


[1] س. م. ا. خاتمی, زیبایی‌های مثلث خیام-پاسکال, {\em ریاضی و جامعه}, 5 no. 2 (1399) 75--92.
[2] م. میرزاوزیری، شمردنی‌ها را بشمار، آهنگ قلم، 1390.
[3] ع. ثابتیان، مثلث خیام-پاسکال و گونه ای تعمیم آن, رشد آموزش ریاضی, 42 (1374) 54--57.
[4] ج. بهبودیان، م. بیات، و ح. تیموری فعال،  مثلث عددی خیام-پاسکال و مثلث‌های شبیه آن، انتشارات علمی دانشگاه صنعتی شریف، 1385.
[5] J. L. Coolidge, The story of the binomial theorem, Amer. Math. Monthly, 56 (1949) 147–157.
[6] R. Rashed, The development of Arabic mathematics: between arithmetic and algebra, (Translated from the 1984 French
original by A. F. W. Armstrong), 156, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1994.
[7] N. A. Draim and M. Bicknell, Sums of n-th powers of roots of a given quadratic equation, Fibonacci Quart., 4 (1966)
170–178.
[8] M. Senn, (1,2)-Pascal triangle - OeisWiki, 2016.
[9] H. Belbachir, A. Mehdaoui and L. Szalay, Diagonal sums in Pascal pyramid, J. Combin. Theory Ser. A, 165 (2019) 106–116.
[10] G. E. Andrews, Euler’s “exemplum memorabile inductionis fallacis” and q-trinomial coefficients, J. Amer. Math. Soc., 3 (1990) 653–669.
[11] T. Mansour and M. Schork, Commutation relations, normal ordering, and Stirling numbers, Discrete Mathematics and its Applications (Boca Raton), CRC Press, Boca Raton, FL, 2016.
[12] R. L. Graham, D. E. Knuth and O. Patashnik. Concrete mathematics. A foundation for computer science, Second edition. Addison-Wesley Publishing Company, Reading, MA, 1994.
[13] S. Daboul, J. Mangaldan, M. Z. Spivey and P. J. Taylor, The Lah numbers and the $n$th derivative of $e^{1/x}$, Math. Mag., 86 (2013) 39–47.
[14] T. Kyle Petersen, Eulerian numbers, Birkhäuser Advanced Texts, Birkhäuser/Springer, New York, 2015.
[15] D. F. Bailey, Counting Arrangements of 1’s and -1’s, Math. Mag., 69 (1996) 128–131.
[16] H. S. Wilf, generatingfunctionology, Third edition. A. K. Peters, Ltd., Wellesley, MA, 2006.
[17] W. Eplett, A note about the catalan triangle, Discrete Math., 25 (1979) 289–291.
[18] N. Dershowitz and S. Zaks, Ordered trees and noncrossing partitions, Discrete math., 62 (1986) 215–218.
[19] E. Miller and V. Reiner, Geometric combinatorics, AMS, 2007.
[20] W. Lang, Triangle of coefficients of Chebyshev’s $T(n,x)$ polynomials (powers of x in increasing order), OeisWiki, 2013.
[21] A. Macdougall, A Pascal-like Triangle for Coefficients of Chebyshev Polynomials, The Mathematical Gazette, 83 (1999) 276–280.
[22] G. Dobinski, Summirung der reihe $\sum\frac{n^m}{m!}$ fur $m=1, 2, 3, 4, 5,\ldots$, Grunert’s Archiv, 61 (1877) 333–336.
[23] C. S. Peirce, On the algebra of logic, Amer. J. Math., 3 (1880) 15–57.
[24] A. C. Aitken, A problem in combinations, Edinburgh Mathematical Notes, 28 (1933) xviii-xxiii.
[25] J. H. Conway and R. K. Guy. The book of numbers, Copernicus, New York, 1996.