میزان سهم از پنیر و نان برشته پیتزا: اثباتی از حدس پیتزا و دیگر نتایج خوش‌طعم

نوع مقاله : مقاله ترجمه ای

نویسنده

دانشکده ریاضی، دانشگاه صنعتی خواجه نصیر، تهران، ایران

چکیده

چکیده مترجم: برای یک عدد طبیعی دلخواه $N$، می‌خواهیم یک پیتزای مُدّوَر به مرکز $O$ را با انتخاب یک نقطه دلخواه $P$ روی آن را از طریق $N$ برش مستقیم‌الخط که از $P$ می‌گذرند، به‌طوری‌که هر سه برش متوالی زوایای مساوی به رأس $P$ ایجاد کنند، به $2N$ قسمت تقسیم کنیم و قسمت‌های تقسیم شده را به‌طور متناوب بین دو نفر تقسیم کنیم. سؤالی که پیش می‌آید این است که آیا می‌توان پیش از چنین تقسیمی و فقط با درنظر گرفتن پارامترهای $N$، $O$ و $P$، معین کرد که آیا مجموع مساحت‌های سهم هر دو فرد برابرند یا تفاوت دارند؟. در این مقاله، این سؤال به‌صورت ریاضی، صورت‌بندی و راه‌حلی، ریاضی برای آن ارائه می‌شود. راه‌حل ارائه شده (قضیه 1.1) با استفاده از مفاهیم ریاضی عمومی و ترکیبیات، برای تمامی تقسیم‌های ممکنی که با انتخاب $N$ و $P$‌های متفاوت، پیش می‌آیند، پاسخ دقیقی به‌دست می‌دهد. این مسأله که برای اولین‌بار برای $N=2$ طرح شد، در مسیر تکوین خود برای $N$ دلخواه، صورت‌بندی‌های مختلفی به خود گرفت و از طرف افرادی که این مسأله را دنبال می‌کردند، برای برخی حالت‌های طرح شده، راه‌حل‌هایی مناسب، اگرچه نه کامل، ارائه گردید که به‌طور خلاصه در این مقاله به برخی از آنها اشاره می‌شود. در این بین، از جمله حالت‌هایی که راه‌حلی برای آن به‌دست نیامده بود، حالتی بوده که $N$ عددی فرد و بزرگتر از 5 بود. این حالت به حدس پیتزا معروف شده بود. در این مقاله، نویسندگان با ارائه قضیه‌ای موسوم به قضیه «قطعات متقابل»، رویکردی را که برای حل مسأله برای $N$‌های زوج به کارگرفته شده بود، تغییر دادند و موفق می‌شوند به کمک این قضیه جدید، این حدس را به اثبات برسانند و به این‌ترتیب برای $N$ دلخواه، مسأله تقسیم پیتزا به شیوه بالا را به‌طور کامل حل کنند. جالب‌تر این‌که هیچ کدام از این راه‌حل‌ها به انتخاب نقطه $P$ بستگی نداشته و فقط به موقعیت $O$ روی نان پیتزا بستگی دارد. بنابراین اگر علم اقتصاد بر محدود بودن منابع غذایی و مواد اولیه برای پختن پیتزا تأکید دارد، علم ریاضیات نشان می‌دهد که بی‌شمار پاسخ برای مسأله تقسیم پیتزا به شیوه فوق وجود دارد و می‌توان تمامی این بی‌شمار راه‌حل‌ را در سه رده کلی رده‌بندی کرد.

کلیدواژه‌ها

موضوعات


[1] G. Berzsenyi, The pizza theorem, Part I, Quantum, 4 (January-February, 1994) 29.
[2] G. Berzsenyi, The pizza theorem, Part II, Quantum, 4 (March-April, 1994) 29.
[3] L. Carter, J. Duncan and S. Wagon, Problem 1457, Math. Mag., 67 (1994) 304.
[4] L. Carter and S. Wagon, Proof wuthout words: Fair allocation of a pizza, Math. Mag., 67 (1994) 267.
[5] P. Deiermann and R. Mabry, The center of a sliced pizza, (solution to problem 1457), Math. Mag., 68 (1995) 312–315.
[6] M. Goldberg, Divisors of a circle, (Solution to problem 660), Math. Mag., 41 (1968) 46.
[7] J. Härterich and S. Iwata, Solutions to problem 1325, Crux Math., 15 (1989) 120–122.
[8] R. I. Hess, Solution to problem 1535, Crux Math., 17 (1991) 179–181.
[9] J. Hirschhorn, M. Hirschhorn, J. K. Hirschhorn, A. Hirschhorn and P. Hirschhorn, The pizza theorem, Austral. Math. Soc. Gaz., 26 (1999) 120–121.
[10] M. Ismail, D. Kim and D. Stanton, Lattice paths and positive trigonometric sums, Constr. Approx., 15 (1999) 69–81.
[11] J. D. E. Konhauser, D. Velleman and S.Wagon, Which Way Did the Bicycle Go?, Dolciani Mathematical Expositions, no. 18, Mathematical Association of America, Washington, DC, 1996.
[12] T. Narayana, Lattice Path Combinatorics with Statistical Applications, Mathematical Expositions, no. 23, University of Toronto Press, Toronto, 1979.
[13] R. B. Nelsen, Proof without Words: Four squares with constant area, Math. Mag., 77 (2004) 135.
[14] C. E. M. Pearce, More on the pizza theorem, Austral. Math. Soc. Gaz., 27 (2000) 4–5.
[15] S. Rabinowitz, Ptolemy’s Legacy, MathPro Press, Westford, MA, (in preparation).
[16] L. J. Upton, Problem 660, Math. Mag., 40 (1967) 163.