بررسی انواعی از چندجمله‌ای‌های متقارن و اتحادهای آنها

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسندگان

1 گروه ریاضی، دانشکده ریاضی، آمار و علوم کامپیوتر، دانشکدگان علوم، دانشگاه تهران

2 گروه علوم کامپیوتر-دانشکده ریاضی آمار و علوم کامپیوتر-دانشکدگان علوم- دانشگاه تهران

چکیده

یک چند‌جمله‌ای با $n$ متغیر، متقارن نامیده می‌شود هرگاه مقدار آن با اعمال هر جایگشت روی متغیرهایش تغییر نکند. چند‌جمله‌‌ای‌های متقارن در شاخه‌های مختلف ریاضیات از جمله ترکیبیات و جبر به‌صورت خاص در نظریه گالوا و نظریه نمایش جبرهای‌لی همچنین در مسائل حیطه ریاضی فیزیک و بیوانفورماتیک مورد توجه و مطالعه قرار گرفته اند. چند‌جمله‌‌ای‌های متقارن مقدماتی و کامل از مهمترین انواع چند‌جمله‌‌ای‌های متقارن هستند. در این مقاله ما با معرفی نمادگذاری جدیدی برای چند‌جمله‌‌ای‌های متقارن مقدماتی و کامل آنها را به‌عنوان تعمیمی از گونه‌های ضرایب دو‌جمله‌ای مورد مطالعه قرار می‌دهیم.
 
علاوه بر چند‌جمله‌ای‌های متقارن مقدماتی و کامل، نسخه‌های تجمعی این چند‌جمله‌ای‌ها را معرفی کرده، خواص و اتحادهای آنها را با استفاده از ابزارهای ترکیبیاتی به‌خصوص توابع مولد، مورد مطالعه و بررسی قرار می‌دهیم. به‌علاوه با به‌کار بردن نمادگذاری‌های مناسب برای این چند‌جمله‌ای‌های متقارن نشان می‌دهیم چطور می‌توان اتحادهای دوجمله‌ای را در مورد چند‌جمله‌ای‌های متقارن تعمیم داد.

کلیدواژه‌ها

موضوعات


[1] E. Artin, Galois theory, Edited and with a supplemental chapter by Arthur N. Milgram, Reprint of the 1944 second edition. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 1998.
[2] M. Abramowitz and I. A. Stegun, Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables, National Bureau of Standards Applied Mathematics Series, No. 55, U. S. Government Printing Office, Washington, DC, 1964.
[3] J. Bewersdorff, Galois theory for beginners—a historical perspective, Student Mathematical Library, 95, American Mathematical Society, Providence, RI, 2021.
[4] D. Cox, J. Little and D. O’shea, Ideals, varieties, and algorithms, An introduction to computational algebraic geometry and commutative algebra, Second edition, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1997.
[5] M. B. Green, J. H. Schwarz and E. Witten, Superstring theory, Vol. 2, Loop amplitudes, anomalies and phenomenology, 25th anniversary edition, Cambridge University Press, Cambridge, 2012.
[6] M. Haiman, Combinatorics, symmetric functions and Hilbert schemes,Current developments in mathematics, 2002 (2003) 39–111.
[7] R. L. Graham, D. E. Knuth and O. Patashnik, Concrete mathematics: A foundation for computer science, Second edition, Addison-Wesley Publishing Company, Reading, MA, 1994.
[8] S. Ling and C. Xing, Coding theory: A first course, Cambridge University Press, Cambridge, 2004.
[9] D. Loeb, Sets with a negative number of elements, Adv. Math., 91 no. 1 (1992) 64–74.
[10] L. Lovasz, J. Pelikán and K. Vesztergombi, Discrete mathematics: Elementary and beyond, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 2003.
[11] I. G. Macdonald, Symmetric functions and Hall polynomials, Oxford university press, 1998.
[12] T. Mansour, and M. Schork, Commutation relations, normal ordering, and Stirling numbers, Discrete Mathematics and its Applications (Boca Raton), CRC Press, Boca Raton, FL, 2016.
[13] J. Matoušek and J. Nešetřil, Invitation to discrete mathematics, Second edition, Oxford University Press, Oxford, 2009.
[14] M. Mohammad-Noori, N. Ghareghani and M. Ghandi, Generalized gapped k-mer filters for robust frequency estimation, Bull. Iranian Math. Soc., 50 no. 5 (2024) 23 pp.
[15] H. Oruç and H. Akmaz, Symmetric functions and the Vandermonde matrix, J. Comput. Appl. Math., 172 no. 1 (2004) 49–64.
[16] S. Sahi and H. Salmasian, The Capelli problem for gl(m|n) and the spectrum of invariant differential operators, Adv. Math., 303 (2016) 1–38.