زیررده‌ی توابع به‌طور قوی ستاره‌گون

سلطانی  مسیح, ولی

doi:10.22108/msci.2023.139034.1604

زیررده‌ی توابع به‌طور قوی ستاره‌گون

نوع مقاله : مقاله ترویجی

نویسنده

ولی سلطانی مسیح

گروه ریاضی، دانشگاه پیام‌نور، صندوق پستی 3697-19395، تهران، ایران

10.22108/msci.2023.139034.1604

چکیده

فرض کنیم $\mathcal{S}^{\ast}(f_c)$ خانواده‌ای از توابع تحلیلی $f(z)=z+a_2z^2+a_3z^3+\cdots$ در دیسک واحد باز $\mathbb{D}$ باشند که برای $c\in (0,1)$، در رابطه‌ی زیر صدق می‌کنند:
$$\frac{zf'(z)}{f(z)}\prec f_c(z)=\frac{1}{\sqrt{1-cz}}, \quad z\in\mathbb{D}.$$
ابتدا، توابع تحلیلی $f_c(z)$ را معرفی کرده و ویژگی ستاره‌گونی و مثبت بودن قسمت حقیقی آن‌ها را بررسی می‌کنیم، و سپس نگاره‌ی آنها در دیسک واحد باز $\mathbb{D}$، که بیضی‌های کاسینی می‌باشند، را به‌دست می‌آوریم. بیضی‌های کاسینی به‌دلیل ویژگی‌هایی که دارند، برای حل مسائل گوناگونی در حوزه‌های مانند هندسه، فیزیک و ریاضیات، کاربرد دارند. این منحنی‌ها در بررسی حرکت موج‌ها و امواج الکترومغناطیسی در فضاهای بین‌ستاره‌ای و نیز در طراحی سازه‌های مهندسی مانند تلسکوپ‌ها، به‌کار می‌روند. در این مقاله به کمک انتگرال، ساختار نگاشت‌ها در این خانواده و برخی خواص شامل بیشینه و کمینه قدرمطلق، و کران‌های قسمت حقیقی این توابع را، بررسی می‌کنیم. همچنین روابط بین رده‌های هندسی تعریف شده با این خانواده، که شامل مرتبه ستاره‌گونی و مرتبه به‌طور قوی ستاره‌گونی می‌باشند، را به‌دست می‌آوریم.

کلیدواژه‌ها

مراجع

[1] M. K. Aouf, J. Dziok and J. Sokól, On a subclass of strongly starlike functions, Appl. Math. Lett., 24 no. 1 (2011) 27–32.
[2] D. A. Brannan and W. E. Kirwan, On some classes of bounded univalent functions, J. London Math. Soc. (2), 1 (1969) 431–443.
[3] P. L. Duren, Univalent functions, 259, Springer Science & Business Media, 2001.
[4] W. C. Ma and D. Minda, A unified treatment of some special classes of univalent functions, Proceeding of the Conference on Complex Analysis, Z. Li, F. Ren, L. Yang and S. Zhang (Eds), Int. Press, (1994) 157–169.
[5] M. I. Robertson, On the theory of univalent functions, Ann. of Math. (2), 37 no. 2 (1936) 374–408.
[6] J. Sokól, On some subclass of strongly starlike functions, Demonstratio Math., 31 no. 1 (1998) 81–86.