ماتریس‌های فاصله و مقیاس‌گذاری چندبعدی

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسندگان

1 دانشکده ریاضی آمار و علوم کامپیوتر، دانشکدگان علوم، دانشگاه تهران، تهران

2 گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه شاهد، تهران

چکیده

مقیاس‌گذاری چند‌بُعدی ابزاری قوی در حل مسائل مربوط به کاهش بُعد و به تصویر کشیدن داده‌ها است. در این روش با داشتن شباهت‌های بین اعضای مجموعه‌ای متناهی از اشیاء به هر عضو، مختصاتی در فضایی با بُعد پایین چنان نظیر می‌گردد که فاصله مختصات‌ نظیر‌شده بین دو شی تاحد امکان به شباهت آن‌ها نزدیک باشد. در این مقاله به معرفی ماتریس‌های فاصله و مقیاس‌گذاری چندبُعدی و ذکر چند کاربرد آن‌ها می‌پردازیم.

کلیدواژه‌ها

موضوعات


[1] K. Ball, Isometric embedding in l p -spaces, European J. Combin., 11 (1990) 305–311.
[2] I. Borg, P. J. Groenen and P. Mair, Applied Multidimensional Scaling, Springer Science & Business Media, New
York, 2012.
[3] M. M. Fréchet, Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rend. Circ. Mat. Palermo, 22 (1906) 1–72.
[4] W. Glunt, T. L. Hayden, S. Hong and J. Wells, An alternating projection algorithm for computing the nearest
Euclidean distance matrix, SIAM J. Matrix Anal. Appl., 11 (1990) 589–600.
[5] J. C. Gower, Properties of Euclidean and non-Euclidean distance matrices, Linear Algebra Appl., 67 (1985) 81–97.
[6] Patrick J. F. Groenen and I. Borg, Past, present, and future of multidimensional scaling, in Visualization and
Verbalization of Data, J. Blasius and M. Greenacre, eds., Chapman and Hall/CRC, London, 2014, 95–117.
[7] W. Holsztysnki, R n as universal metric space, Notices Amer. Math. Soc., 25 (1978) A–367.
[8] J. B. Kruskal, Multidimensional scaling by optimizing goodness of fit to a nonmetric hypothesis, Psychometrika,
29 (1964) 1–27.
[9] C. K. Li, T. Milligan and M. Trosset, Euclidean and circum-Euclidean distance matrices: characterizations and
linear preservers, Electron. J. Linear Algebra, 20 (2010) 739–752.
[10] J. J. Meulman, The integration of multidimensional scaling and multivariate analysis with optimal transformations,
Psychometrika, 57 (1992) 539–565.
[11] R. Parhizkar, Euclidean Distance Matrices: Properties, Algorithms and Applications, School of Computer and
Communication Sciences, Ecole Polytechnique Federale de Lausanne, Lausanne, Switzerland, 2013.
[12] J. W. Sammon, A nonlinear mapping for data structure analysis, IEEE Trans. Comput., 100 (1969) 401–409.
[13] I. J. Schoenberg, Remarks to Maurice Frechet’s article“Sur La Definition Axiomatique D’Une Classe D’Espace
Distances Vectoriellement Applicable Sur L’Espace De Hilbert”, Ann. of Math., 36 (1935) 724–732.
[14] I. J. Schoenberg, On certain metric spaces arising from Euclidean spaces by a change of metric and their imbedding
in Hilbert space, Ann. of Math., 38 (1937) 787–793.
[15] I. J. Schoenberg, Metric spaces and positive definite functions, Trans. Amer. Math. Soc., 44 (1938) 522–536.
[16] Y. Takane, F. W. Young and J. De Leeuw, Nonmetric individual differences multidimensional scaling: an alternating
least squares method with optimal scaling features, Psychometrika, 42 (1977) 7–67.
[17] W. S. Torgerson, Multidimensional scaling: I., theory and method, Psychometrika, 17 (1952) 401–419.
[18] B. van Cutsem, Classification and Dissilllilarity Analysis, Springer-Verlag, New York, 1994.
[19] J. H. Wells and L. R. Williams, Embeddings and Extensions in Analysis, Ergebnisse, Springer-Verlag, Berlin, 1975.
[20] H. S. Witsenhausen, Minimum dimension embedding of finite metric spaces, J. Combin. Theory Ser. A, 42 (1986)
184-199.
[21] G. Young and A. S. Householder, Discussion of a set of points in terms of their mutual distances, Psychometrika,
3 (1938) 19–22.