جای خالی عدد نپر در کتاب های متوسطه

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسندگان

دانشگاه زنجان

چکیده

مطالب اندکی که درباره‌ی عدد $\mathrm{e}$ در کتب دبیرستانی وجود داشت ما را بر آن داشت که مقاله‌ی حاضر را در دفاع از این که می‌توان حرف‌های بیشتری در ارتباط با این عدد در سطح متوسطه بیان نمود، به رشته‌ی تحریر درآوریم. کارمان را با ارائه‌ی تاریخچه‌ای از این عدد آغاز می‌کنیم، و سپس به اثبات نامساوی $0<\mathrm{e}-\sum_{k=0}^{n}{1}/{k!}<{1}/{(n.n!)}$ که برای هر عدد طبیعی $n\geq 1$ برقرار است، می‌پردازیم. با کمک این نامساوی گنگ بودن $\mathrm{e}$ را استنتاج کرده، مقدار مجموع $\sum_{k=0}^{n} P(n,k)$ را محاسبه می‌کنیم. مجموع مذکور، ما را به شمارش تعداد مسیرهای متمایز بین دو رأس دلخواه از یک گراف کامل رهنمون می‌دارد. در پایان، اثباتی از نامساوی میانگین‌های حسابی، هندسی و همساز را بر اساس نامساوی $x^{\mathrm{e}}\leq \mathrm{e}^{x}$ که برای هر $x>0$ برقرار است، بیان می‌کنیم. تمامی برهان‌ها و استنتاج‌ها بر اساس مطالبی است که در سال آخر متوسطه بیان می‌شود.

کلیدواژه‌ها


[1] A. Azarang, The Persian Tarof in Mathematics, Math. Intelligencer, 33 no. 4 (2011) pp. 1.
[2] M. Hassani, Cycles in graphs and derangements, Math. Gaz., 88 (2004) 123–126.
[3] M. Hassani, Derangements and Applications, J. Integer Seq. (JIS), 6 (2003) no. 1 pp. 8, Article 03.1.2.
[4] M. Hassani, On the Arithmetic–Geometric mean inequality, Tamkang J. Math., 44 (2013) 453–456.
[5] M. Hassani and A. Sofo, Sharp bounds for the constant e, Vietnam Journal of Mathematics, to appear.
[6] O. A. S. Karamzadeh, One-line proof of the AM-GM inequality, Math. Intelligencer, 33 no.2 (2011) pp. 3.
[7] N. Schaumberger, The AM-GM Inequality via x۱/x , College Mathematics Journal, 20 (1989) 320.
[8] J. J. O’Connor and Edmund F. Robertson, The MacTutor History of Mathematics archive:
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/index.html