یکی از رویکردهای گروتندیک\LTRfootnote{Grothendieck} در هندسه جبری و جبر جابجایی، مطالعه‌ی همریختی‌های یک شی به جای مطالعه‌ی آن شی است. موضوع فصل چهارم از \cite{G}، شرح مفصلی از خواص موضعی، از طرح‌های موضعاً نوتری و همریختی‌های آنها می‌باشد. در \cite{AFH1}، برخی از معیارهای عددی کلاسیک \textit{اندازه} و \textit{خواص} حلقه‌ها به همریختی‌ها گسترش یافته است. شاخصه‌های عددی که خواص کوهن-مکالی همریختی‌های حلقه‌ای
$\varphi :R\rightarrow S$
از حلقه‌های نوتری را اندازه می‌گیرد، در \cite{AF1} مورد مطالعه قرار گرفته است. از سوی دیگر نظریه همولوژی روی همریختی‌های موضعی، از حلقه‌های موضعی در \cite{AIM} مطالعه شده است. در \cite{IS}، نظریه بعدهای همولوژیک گرنشتاین و تصویری به همریختی‌های موضعی گسترش یافته است.
ابزار اصلی استفاده شده در این مطالعات، تجزیه کوهن\LTRfootnote{Cohen factorization}
از همریختی‌های موضعی می‌باشد که توسط آوراموف\LTRfootnote{Avramov}، فاکسبی\LTRfootnote{Foxby} و هرتزوگ\LTRfootnote{Herzog} در \cite{AFH1}، ابداع شده است.
یکی از مهمترین شاخصه‌های عددی در حلقه‌ها و مدول‌های متناهی-مولد، چندگانگی می‌باشد
(\cite{AB}، \cite{BH} و \cite{M} را ببینید).
در این مقاله مفهوم چندگانگی به همریختی‌های موضعی تعمیم داده شده و خواص آن بررسی میشود و به کمک آن یک دسته‌بندی برای حلقه‌های کوهن-مکالی ارائه میشود.
)