شار کالابی روی رویه‌های ریمانی

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسنده

پژوهشکده ریاضیات، پژوهشگاه دانش‌های بنیادی، تهران، ایران

چکیده

قضیه‌ی یکنواخت‌سازی یکی از قضایای مهم در آنالیز مختلط است. از جمله نتایج این قضیه آن است که هر رویه‌ی ریمانی فشرده متریکی با انحنای گاووسی ثابت می‌پذیرد. یکی از راه‌های مدرن اثبات قضیه‌ی یکنواخت‌سازی استفاده از شار‌های هندسی است. پس از کار درخشان پرلمان برای اثبات حدس پوانکاره، برخی نویسندگان اثبات‌هایی برای این قضیه بر اساس شارهای انحنا ارائه کردند. در یکی از کارهای مهم این حوزه، تیان با استفاده از شار ریچی قضیه‌ی یکنواخت‌سازی را ثابت کرد. بعدتر، چن با استفاده از شار کالابی اثبات دیگری از این قضیه را ارائه نمود. برعکس شار ریچی، شار کالابی معادله‌ دیفرانسیلی سهموی از مرتبه چهار است، و کار کردن با چنین معادله‌های دیفرانسیلی به خاطر برقرار نبودن اصل ماکزیمم دشوار است. حتی اثبات وجود جواب در زمانهای طولانی برای شار کالابی ساده نیست و برای بعدهای بیشتر یا مساوی ۲، مساله‌ای باز است. در یکی از کارهای بسیار مهم سالهای اخیر، چن و چنگ ابزاری بسیار قدرتمند برای کار بر روی معادلات دیفرانسیل غیرخطی مرتبه ۴ ساخته‌اند. در این مقاله، با استفاده از نتیجه‌ی یاد شده، اثبات جدیدی برای وجود جواب در زمان طولانی برای شار کالابی روی رویه‌های فشرده‌ی ریمانی از گونای مثبت ارائه می‌کنیم.

کلیدواژه‌ها

موضوعات


[1] E. Calabi, Extremal K¨ahler metrics, Seminar on Differential Geometry, Ann. of Math. Stud., No. 102, Princeton Univ. Press, Princeton, N. J., 1982 259–290.
[2] Piotr T. Chru´sciel, Semi-global existence and convergence of solutions of the Robinson-Trautman (2-dimensional Calabi) equation, Commun. Math. Phys., 137 no. 2 (1991) 289–313.
[3] X. Chen and J. Cheng, On the constant scalar curvature K¨ahler metrics (I)—A priori estimates, J. Amer. Math. Soc., 34 no. 4 (2021) 909–936.
[4] Chen, Xiuxiong and Cheng, Jingrui, On the constant scalar curvature K¨ahler metrics (II)—Existence results, J. Amer. Math. Soc., 34 no. 4 (2021) 937–1009.
[5] Z. Lu and R. Seyyedali, Remarks on a result of Chen-Cheng, Complex Manifolds, 11 no. 1 (2024) 12 pp.