گراف های مکعبی نیم متقارن از مرتبه 40p

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسندگان

گروه آموزشی ریاضی، دانشکده علوم ریاضی وکامپیوتر دانشگاه خوارزمی تهران،ایران

چکیده

گراف ساده $ \Gamma $ رانیم‌متقارن می‌نامیم هرگاه منتظم ویال-انتقالی بوده اما رأس-انتقالی نباشد. هرگراف $ 3 $-منتظم را مکعبی می‌نامیم. یک مسئله تحقیقاتی مهم تعیین گر‌‌اف‌های نیم‌متقارن مکعبی از مرتبه‌های مختلف است. هدف از این مقاله تعیین گراف‌های نیم‌متقارن مکعبی ازمرتبه $ 40p $ است که $ p $، اول است. نشان می‌دهیم برای $ p\ne3\text{و}31 $ چنین گرافی وجود ندارد. به‌عبارت دیگر در این حالت گراف متقارن است. فرض کنید $ p $ اول باشد. فالکمن در \cite{fo} نشان داد، گرافی نیم‌متقارن ازمرتبه $ 2p $ یا $ 2p^2 $ وجود ندارد. ما نشان می‌دهیم اگر $ \Gamma $ یک گراف نیم‌متقارن مکعبی از مرتبه $ 40p $ باشد آنگاه $ p=3 $ و $ \Gamma $ بایک گراف نیم‌متقارن از مرتبه $ 120 $ یکریخت است یا $ p=31 $ و $\Gamma\cong C(L_2(31):\mathbb{S}_4,\mathbb{S}_4). $ ابزارهای اساسی ما در این تحقیق خودریختی گراف‌ها، گروه‌های ساده، گروه‌های حل پذیر وگروه‌های جایگشتی می باشند.

کلیدواژه‌ها


[1] M. Alaeiyan and M. Ghasemi, Cubic edge-transitive graphs of order 8p2 , Bull. Aust. Math.Soc., 77 (2008) 315–323.
[2] M. Alaeiyan and B. N. Onagh, Cubic edge-transitive graphs of order 4p2 , Acta. Math. Univ. Com. New. Ser., 78 (2009) 183–186.
[3] M. Alaeiyan and B. N. Onagh, On semisymmetric cubic graphs of order 10p3 , Hace. J. Math. Stat, 40 (2011) 531–535.
[4] M. Alaeiyan and M. Lashini, Classification of cubic edge-transitive graphs of order 14p2 , Hace. J. Math. Stat., 41 (2012) 277–282.
[5] P. M. Amoli, M. R. Darafsheh and A. Tehranian, Semi-symmetric cubic graph of order 12p3 , Bull. Korean. Math. Soc., 59 (2022) 203–212.
[6] Y. Bugeand, Z. Cao and M. Mignoto, On simple K4 -groups, J. Algebra., 241 (2001) 658-668.
[7] M. Conder, M. Malnic, D. Marusic and P. Potocnic, A census of semisymmetric cubic graphs on up to 768 vertices, J. Algebraic Comb., 23 (2006) 255–294.
[8] M. Conder and R. Nedla, A refined classification of symmetric cubic graphs, J. Algebra., 322 (2009) 722–740.
[9] J. H. Conway, R. T. Curtis, S. P. Norton, R. A. Parker and R. A. Wilson, Atlas of finite groups, Oxford University Press, 1985.
[10] M. Darafsheh and M. Shasavaran, Semisymmetric cubic graphs of order 34p3 , Bull. Korean. Math. Soc., 57 (2020) 739–750.
[11] M. R. Darafsheh and M. Shahsavaran, On semisymmetric cubic graphs of order 20p2 , Discuss. Math. Graph Thory., 41 (2021) 873–891.
[12] Y. Feng, M. Ghasemi and W. Changqun, Cubic semisymmtric grphs of order 6p3 , Disc. Math., 310 (2010) 2345–2355.
[13] J. Folkman, Regular line-symmetric graphs, J. Comb. Theory., 3 (1967) 215–232.
[14] C. Godsil, G. F. Royle, Algebraic graph theory, New York, Springer, 2001.
[15] D. M. Goldschmidt, Automorphisms of trivalent graphs, Ann. Math., 111 (1980) 377–406.
[16] H. Han and Z. Lu, Semisymmetric graphs of order 6p2 and prime valency, Sci. China Math., 55 (2012) 2579–2592.
[17] M. Herzog, On finite simple groups of order divisible by three primes only, J. Algebra., 120 (1968) 383–388.
[18] X. Hua and Y. Feng, Cubic semisymmetric graphs of order 8p3 , Sci. China Math., 54 (2011) 1937–1949.
[19] X. Hua, S. Guo and L. Chen, Cubic Semisymmetric Graphs of Order 2qp2 , Acta. Math. Appl. Sin. Engl. Ser., 35 (2019) 629–637.
[20] J. H. Kwak and R. Nedela, Graphs and their coverings, Lect. Notes. Ser., 17 (2007).
[21] Z. Lu, C. Wang and M. Xu, On semisymmetric cubic graphs of order 6p2 , Sci. China Ser. A. Math., 47 (2004) 1–17.
[22] A. Malnic, D. Marusic and C. Wang, Cubic Semisymmetric Graphs of Order 2p3 , Disc. Math., 2000.
[23] A. Malnic, D. Marusic, and C. Wang, Cubic edge-transitive graphs of order 2p3 , Disc. Math., 274 (2004) 187–198.
[24] C. Parker and P. Rowley, Classical groups in dimension 3 as completions of the Goldschmidt G3 -Amalgam, J. LMS., 62 (2000) 802–812.
[25] D. J. Robinson, A course in the theory of groups, Springer-Verlag, New York, 1982.
[26] W. J. Shi, On simple K4 -groups, Chin. sci. Bull., 36 (1991) 1281–1283.
[27] M. Suzuki, Group theory I, Springer Berlin, Heidelberg, 1982.
[28] M. Suzuki, Group theory II, Springer-Verlag, New York, 1986.
[29] M. Shahsavaran and M. R. Darafsheh, Classifying semisymmetric cubic graphs of order 20p, Turk. J. Math., 43 (2019) 2755–2766.
[30] W. T. Tutte, Connectivity in graphs, University of Toronto Press, Toronto, 1966.
[31] S. Zhang and W. J. Shi, Revisiting the number of simple K4 -groups, arXiv:1307.8079v1 [math.NT], (2013).