طبقه‌بندی کامل ساختارهای همگن روی توسیع‌های مستقیم لورنتسی گروه هایزنبرگ

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسندگان

گروه ریاضی، دانشکده علوم پایه، دانشگاه پیام‌نور، تهران، ایران

چکیده

گروه لی هایزنبرگ یکی از مشهورترین و مهمترین گروه‌های لی در بین خانواده گروه‌های‌ لی سه‌بعدی است. توسیع مستقیم این گروه به بُعد چهار در مطالعه جبرهای‌ لی پوچ توان از بُعد چهار مورد توجه قرار گرفت و در نتیجه طبقه‌بندی این توسیع‌ها تا حد هم‌سنجی در برخی پژوهش‌های پیشین ارائه گردید. ساختارهای همگن رویکردی تانسوری برای بررسی خاصیت همگن بودن فضا در اختیار ما قرار می‌دهند. شاید مهمترین ویژگی ساختارهای همگن را بتوان در این گزاره خلاصه کرد که در هندسه ریمانی وجود ساختارهای همگن معادل با موضعاً همگن تحویلی بودن فضا است.
 
ما در این مقاله بر اساس طبقه‌بندی موجود از توسیع مستقیم لورنتسی گروه هایزنبرگ با بُعد چهار، که تا حد هم‌سنجی در قالب پنج خانواده دسته‌بندی شده‌اند، به مطالعه خانواده ساختارهای همگن موجود روی این فضا می‌پردازیم و آن‌ها را به‌طور کامل طبقه‌بندی می‌نماییم. در حالت‌های ناتخت، خانواده ساختارهای‌ همگن را جداگانه در هر کلاس تعیین می‌نماییم.

کلیدواژه‌ها

موضوعات


[1] ی. آریانژاد، چند خاصیت فضای شبه‌ریمانی همگن چهاربعدی با ایزوتروپی بدیهی، ریاضی و جامعه، 7 no. 1 (1401) 73--84.
[2] ا. زعیم، ی. آریانژاد و م. قیطاسی، پیرامون برخی خمینه‌های همدیس اینشتین از بعد چهار، ریاضی و جامعه، 7 no. 2 (1401) 19--36.
[3] W. Ambrose and I. M. Singer, On homogeneous Riemannian manifolds, Duke Math. J., 25 (1958) 647–669.
[4] E. binz and S. Pods, The Geometry of Heisenberg Groups With Applications in Signal Theory, Optics, Quantization, and Field Quantization, American Mathematical Society, 2008.
[5] N. Bokan, T. Sukilovic and S. Vukmirovic, Lorentz geometry of 4-dimensional nilpotent Lie groups, Geom Dedicata, 177 (2015) 83–102.
[6] G. Calvaruso, Homogeneous structures on three-dimensional Lorentzian manifolds, J. Geom. Phys., 57 (2007) 1279–1291.
[7] G. Calvaruso and M. Castrillon-Lopez, Pseudo-Riemannian Homogeneous Structures, Developments in Math., Springer Nature, Switzerland, 2019.
[8] G. Calvaruso and M. Castrillon-Lopez, Cyclic Lorentzian Lie groups, Geom Dedicata, 181 (2016) 119–136.
[9] G. Calvaruso and A. Zaeim, Four-dimensional Lorentzian Lie groups, Differential Geometry and its Applications, 31 (2013) 496–509.
[10] P.M. Gadea and J. A. Oubina, Homogeneous pseudo-Riemannian structures and homogeneous almost para-Hermitian structures, Houston J. Math., 18 (1992) 449–465.
[11] P. M. Gadea, J. C. Gonzalez-Davila and J. A. Oubiña, Cyclic metric Lie groups, Monatsh. Math., 176 (2015) 219–239.
[12] P. M. Gadea, J. C. Gonzalez-Davila and J. A. Oubiña, Cyclic homogeneous Riemannian manifolds, Ann. Mat. Pura Appl., 195 (2016) 1619–1637.
[13] P. M. Gadea and J.A. Oubiña, Homogeneous Lorentzian structures on the Oscillator groups, Arch. Math., 73 (1999) 311–320.
[14] P. M. Gadea and J.A. Oubiña, Homogeneous Riemannian structures on Berger 3-spheres, Proc. Edinb. Math. Soc., 48 no. 2 (2005) 375–387.
[15] L. Magnin, Sur les algebres de Lie nilpotents de dimension≤ 7, J. Geom. Phys., 3 no. 1 (1986) 119–144.
[16] J. Milnor, Curvature of left invariant metrics on Lie groups, Adv. Math., 21 (1976) 293–329.
[17] B. O’Neill, Semi-Riemannian Geometry, New York: Academic Press, 1983.
[18] S. Rahmani, Maetriques de Lorentz sur les groupes de Lie unimodulaires de dimension trois, J. Geom. Phys., 9 (1992) 295–302.
[19] F. Tricerri and L. Vanhecke, Homogeneous Structures on Riemannian Manifolds, Cambridge University Press, Cambridge, 1983.
[20] A. Tohidfar and A. Zaeim, On Pseudo-Riemannian Cyclic Homogeneous Manifolds of Dimension Four, Journal of Lie Theory, 31 no. 1 (2021) 169–187.