توپولوژی خمینه‌های ۳-بعدی

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسنده

پژوهشگاه دانش‌های بنیادی، میدان شهید باهنر، پژوهشکده ریاضیات، تهران، ایران

چکیده

این دومین مقاله از یک سه‌گانه است که به مرور تحولات مهم توپولوژی ابعاد پایین در قرن گذشته می‌پردازد. با شروع از کارهای پوانکاره در سالهای پایانی قرن نوزدهم و سالهای آغازین قرن بیستم، قدم‌های اصلی که برای قرار دان خمینه‌های سه‌بعدی و توپولوژی جبری مرتبط با آنها در یک چارچوب ریاضی استوار برداشته شد، و قضایای مهمّی که فهم این خمینه‌ها را قوام بخشید را مرور خواهیم کرد. این مرور، با قضایای تجزیۀ اول خمینه‌های ۳ بعدی و قضیۀ تجزیۀ JSJ آغاز می‌شود. برجسته کردن اهمّیت خمینه‌های ۳ بعدی هذلولوی، اثبات قضیۀ هیولا، و صورت‌بندی حدس هندسی‌سازی توسط ترستن نقطه عطف مهمّی در مطالعه خمینه‌های ۳‌ بعدی بوده است. اثبات حدس پوانکاره توسط پرلمان، با استفاده از شار ریچیِ هامیلتون، این نکته را تأیید کرد که گروه بنیادی خمینه‌های ۳ بعدی ناوردایی تقریبا کامل برای این خمینه‌ها است. با این وجود، مشخص نیست که بسیاری از خصوصیّات هندسی خمینه‌های ۳ بعدی چگونه در گروه بنیادی منعکس می‌شود، و تشخیص این که دو نمایش گروه‌های بنیادی، گروه‌هایی یک‌ریخت را مشخص می‌کنند یا خیر هم معمولاً بسیار دشوار است. راه‌های موازی برای مطالعه خمینه‌های ۳ بعدی و هم‌لبگی‌های ۴ بعدی بین آنها با استفاده از ناورداهای آبلی- که کار کردن با آنها ساده‌تر است- بالاخص شامل نظریه‌هایی است که در قالب نظریه‌های توپولوژیک میدان‌ کوانتومی صورت‌بندی شده اند. چنین نظریه‌هایی هم در این مقاله مورد اشاره قرار می‌گیرند. بالاخص، قضیه‌ای از نویسنده که به توانایی ناورداهای اخیر در تشخیص کرۀ ۳ بعدی از سایر خمینه‌ها می‌پردازد مورد مطالعه قرار خواهد گرفت.

کلیدواژه‌ها


[1] M. Dehn, über die Topologie des dreidimensionalen Raumes. Math. Ann., 69 no. 1 (1910) 137–168.
[2] E. Eftekhary, Knot theory and modern mathematical tools (in farsi), preprint, available at https://www.researchgate.net/profile/Eaman-Eftekhary/research.
[3] E. Eftekhary, Knot theory, from past to present (in farsi), preprint, available at https://www.researchgate.net/profile/Eaman-Eftekhary/research.
[4] E. Eftekhary, Seifert fibered homology spheres with trivial Heegaard Floer homology, preprint, available at arXiv:0909.3975 [math.GT].
[5] E. Eftekhary, Floer homology and splicing knot complements, Algebr. Geom. Topol., 15 no. 6 (2015) 3155–3213.
[6] E. Eftekhary, Bordered Floer homology and existence of incompressible tori in homology spheres, Compos. Math., 154 no. 6 (2018) 1222–1268.
[7] A. Floer, An instanton-invariant for 3-manifolds, Comm. Math. Phys., 118 no. 2 (1988) 215–240.
[8] A. Floer, Morse theory for Lagrangian intersections, J. Differential Geom., 28 no. 3 (1988) 513–547.
[9] A. Floer, A relative Morse index for the symplectic action, Comm. Pure Appl. Math., 41 no. 4 (1988) 393–407.
[10] A. Floer, The unregularized gradient flow of the symplectic action, Comm. Pure Appl. Math., 41 no. 6 (1988) 775–813.
[11] A. Floer, Symplectic fixed points and holomorphic spheres, Comm. Math. Phys., 120 no. 4 (1989) 575–611.
[12] A. Floer, Witten’s complex and infinite-dimensional Morse theory, J. Differential Geom., 30 no. 1 (1989) 207–221.
[13] A. Haefliger and M. W. Hirsch, On the existence and classification of differentiable embeddings, Topology, 2 (1963) 129–135.
[14] R. S. Hamilton, Three-manifolds with positive Ricci curvature, J. Differential Geom., 17 no. 2 (1982) 255–306.
[15] W. Jaco, and P. B. Shalen, A new decomposition theorem for irreducible sufficiently-large 3-manifolds, Algebraic and geometric topology (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), Part 2, 71–84, Proc. Sympos. Pure Math., XXXII, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1978.
[16] W. H. Jaco and P. B. Shalen, Seifert fibered spaces in 3-manifolds, Mem. Amer. Math. Soc., 21 no. 220 (1979) 192 pp.
[17] K. Johannson, Homotopy equivalences of 3-manifolds with boundaries, Lecture Notes in Mathematics, 761, Springer, Berlin, 1979.
[18] H. Kneser, Geschlossene fl achen in dreidimensionalen mannigfaltigkeiten, Jber. Deutsch. Math. Verein., 38 (1929) 248–260.
[19] P. Kronheimer and T. Mrowka, The genus of embedded surfaces in the projective plane, Math. Res. Lett., 1 no. 6 (1994) 797–808.
[20] C. Kutluhan, Y.-J. Lee and C. H. Taubes, HF = HM , I: Heegaard Floer homology and Seiberg-Witten Floer homology, Geom. Topol., 24 no. 6 (2020) 2829–2854.
[21] C. Kutluhan, Y.-J. Lee and C. H. Taubes, HF = HM , II: Reeb orbits and holomorphic curves for the ech/Heegaard Floer correspondence, Geom. Topol., 24 no. 6 (2020) 2855–3012.
[22] C. Kutluhan, Y.-J. Lee and C. H. Taubes, HF = HM , III: holomorphic curves and the differential for the ech/Heegaard Floer correspondence, Geom. Topol., 24 no. 6 (2020) 3013–3218.
[23] C. Kutluhan, Y.-J. Lee and C. H. Taubes, HF=HM, IV: The Sieberg-Witten Floer homology and ech correspondence, Geom. Topol., 24 no. 7 (2020) 3219–3469.
[24] C. Kutluhan, Y.-J. Lee and C. H. Taubes, HF=HM, V: Seiberg-Witten Floer homology and handle additions, Geom. Topol., 24 no. 7 (2020) 3471–3748.
[25] E. E. Moise, Affine structures in 3-manifolds. V. The triangulation theorem and Hauptvermutung, Ann. of Math. (2), 56 (1952) 96–114.
[26] J. Morgan and G. Tian, Ricci flow and the Poincaré conjecture, Clay Mathematics Monographs, 3, American Mathematical Society, Providence, RI; Clay Mathematics Institute, Cambridge, MA, 2007.
[27] J. W. Morgan, Z. Szabó and C. H. Taubes, A product formula for the Seiberg-Witten invariants and the generalized Thom conjecture, J. Differential Geom., 44 no. 4 (1996) 706–788.
[28] G. D. Mostow, Quasi-conformal mappings in n-space and the rigidity of hyperbolic space forms, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., no. 34 (1968) 53–104.
[29] G. D. Mostow, Strong rigidity of locally symmetric spaces. Annals of Mathematics Studies, no. 78, Princeton University Press, Princeton, NJ; University of Tokyo Press, Tokyo, 1973.
[30] P. Ozsváth and Z. Szabó, The symplectic Thom conjecture, Ann. of Math. (2), 151 no. 1 (2000) 93–124.
[31] P. Ozsváth and Z. Szabó, Holomorphic disks and three-manifold invariants: properties and applications, Ann. of Math. (2), 159 no. 3 (2004) 1159–1245.
[32] P. Ozsváth and Z. Szabó, Holomorphic disks and topological invariants for closed three-manifolds, Ann. of Math. (2), 159 no. 3 (2004) 1027–1158.
[33] P. Ozsváth and Z. Szabó, Holomorphic triangles and invariants for smooth four-manifolds, Adv. Math., 202 no. 2 (2006) 326–400.
[34] C. D. Papakyriakopoulos, On Dehn’s lemma and the asphericity of knots, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 43 (1957) 169–172.
[35] C. D. Papakyriakopoulos, On Dehn’s lemma and the asphericity of knots, Ann. of Math. (2), 66 (1957) 1–26.
[36] G. Perelman,The entropy formula for the ricci flow and its geometric applications,(2002), arXiv:math.DG/0211159.
[37] G. Perelman, Finite extinction time for the solutions to the ricci flow on certain three-manifolds, (2003), arXiv:math.DG/0307245.
[38] G. Perelman, Ricci flow with surgery on three-manifolds, (2003), arXiv:math.DG/0303109.
[39] H. Poincaré, Analysis situs, J. École Polytech., 2 (1895) 1–123.
[40] H. Poincaré, Complément á l’analysis situs, Rend. Circ. Mat. Palermo, 13 (1899) 285–343.
[41] H. Poincaré, Second complément á l’analysis situs, Proc. London Math. Soc., 32 (1900) 277–308.
[42] H. Poincaré, Sur certaines surfaces algébriques: troisiéme complément á l’analysis situs, Bull. Soc. Math. France, 30 (1902) 49–70.
[43] H. Poincaré, Sur les cycles des surfaces algébriques: quatriéme complément á l’analysis situs, J. Math. Pur. Appl., 8 (1902) 169–214.
[44] H. Poincaré, Cinquiéme complément á l’analysis situs, Rend. Circ. Mat. Palermo, 18 (1904) 45–110.
[45] H. Poincaré, Papers on topology, 37 of History of Mathematics, American Mathematical Society, Providence, RI; London Mathematical Society, London, 2010, ıt Analysis situs and its five supplements, Translated and with an introduction by John Stillwell.
[46] G. Prasad, Strong rigidity of Q-rank 1 lattices, Invent. Math., 21 (1973) 255–286.
[47] S. Sarkar and J. Wang, An algorithm for computing some Heegaard Floer homologies, Ann. of Math. (2), 171 no. 2 (2010) 1213–1236.
[48] H. Seifert, Topologie Dreidimensionaler Gefaserter Räume, Acta Math., 60 no. 1 (1933) 147–238.
[49] J. R. Stallings, J. grushko’s theorem ii, kneser’s conjecture, Notices Amer. Math. Soc., 6 (1959) 531–532.
[50] J. R. Stallings, Some topological proofs and extensions of Grusko’s theorem, ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 1959.
[51] W. P. Thurston, Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1, 35 of Princeton Mathematical Series, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997.
[52] C. T. C. Wall, All 3-manifolds imbed in 5-space, Bull. Amer. Math. Soc., 71 (1965) 564–567.
[53] H. Whitney, Differentiable manifolds, Ann. of Math. (2), 37 no. 3 (1936) 645–680.