خواص مشترک برخی زیرحلقه های $\mathbb{R}^X$

رای فضای توپولوژی ناتهی $X$، محموعه تمام توابع حقیقی-مقدار روی $X$ با نماد $F(X)$ نشان داده می‌شود که با عمل جمع و ضرب نقطه به نقطه، حلقه‌ای تعویض‌پذیر است. اعضای پیوسته $F(X)$ را با $C(X)$ نشان می‌دهیم. $B_1(X)$ مجموعه تمام حدود نقطه به نقطه دنباله‌ توابع در $C(X)$ را نشان می‌دهد که یک زیرحلقه $F(X)$ است. نشان داده شده است که جمع دو $z$-ایدآل در $B_1(X)$ یک $z$-ایدآل است و ایدآل $I$ در $B_1(X)$ یک $z$-ایدآل است اگر و تنها اگر $\sqrt{I}$ یک $z$-ایدآل در $B_1(X)$ باشد. برای هر $f\in F(X)$، $f^{-1}(0)$ را با $Z(f)$ نشان داده و آن را یک صفر-محموعه می‌گویند. اگر $A(X)$ یک زیرحلقه $F(X)$ باشد، $\emptyset \neq B\subseteq A(X)$ و $S=\bigcup_{b\in B}(X\setminus Z(b))$، آن‌گاه ثابت شده است که همریختی حلقه $\phi:A(X) \to A(S)$ وجود دارد به‌طوری که $\phi= Ann(B)$ \lr{ker}. ایدآل $I$ در $A(X)$ را مطلقا محدب گوییم هرگاه از $f\in A(X),~g\in I$ و $|f|\leq |g|$ نتیجه شود $f\in I$. برخی زیرحلقه‌های $F(X)$ که هر ایدآل اول آن مطلقا محدب باشد بررسی شده است. ایدآل سره $I$ از $A(X)$ را ایدآلی شبه‌ثابت می‌نامند هرگاه گردآیه $\{ cl_XZ(f) | f\in I \}$ دارای اشتراک ناتهی باشد. مشخصه ‌سازی‌ها‌یی از ایدآل‌های شبه‌ثابت در برخی زیرحلقه‌های $F(X)$ داده شده است. نشان داده شده است که اگر $X$ همبند باشد، $I$ ایدآلی آزاد در $C(X)$ باشد و $p\in X$، آن‌گاه ایدآل ناصفر $J$ که مشمول در $I$ است وجود دارد به‌طوری که $p\in \cap Z[J]$. زیرحلقه‌ $A(X)$ از $F(X)$ مورد مطالعه قرار گرفته است که هر $f\in A(X)$ با شرط $Z(f)=\emptyset$ دارای وارون ضربی در $A(X)$ باشد. زیرحلقه $A(X)$ از $F(X)$ مورد پژوهش قرار گرفته است که برای هر $g\in C(\mathbb{R})$ و هر $f\in A(X)$ داشته باشیم $g\circ f \in A(X)$. یک تابعگون پادوردا از رسته‌ی تمام فضاهای توپولوژی و نگاشت‌های پیوسته بین آنها بتوی رسته‌ی حلقه‌های تعویض‌پذیر یکدار و همریختی‌های حافظ عضو همانی ضربی بین آنها برقرار خواهد شد.