یک رویکرد ترکیبیاتی از قضیه ویلسون برای گروه‌های آبلی متناهی

نوع مقاله : مقاله ترجمه ای

نویسندگان

1 گروه آموزش ریاضی دانشگاه فرهنگیان، تهران، ایران

2 گروه ریاضی، واحد بابل، دانشگاه آزاد اسلامی، بابل، ایران

چکیده

نوشته حاضر ترجمه مقاله زیر است:
[Chase Saucier, A Combinatorial Approach to Wilson’s Theorem for Finite Abelian Groups, Mathematics Magazine, 91 no. 2 (2018) 97–102.]
 
در این مقاله قصد داریم با استفاده از استدلال‌های شمارشی ساده و غیرمستقیم، بدون استفاده از قضایایی چون لاگرانژ و کوشی یا حتی مفاهیم اساسی جبر مانند زیرگروه، گروهِ خارج‌قسمت یا همریختی، نتایجی در نظریۀ گروه‌ها به‌دست آوریم. یادآوری می‌کنیم که بر اساس قضیۀ ویلسون اگر ‎$p$‎ عددی اول باشد آن‌گاه ‎$(p-1)!\equiv‎ -‎1~~(\mathrm{mod}‎ ~‎~p)$‎ که در آن ‎$(p-1)!$‎ حاصل‌ضرب یکال‌ها به پیمانه ‎$p$‎ است. این مسئله در حالت کلی مطالعه شده است و به این ترتیب این سوال مطرح شده است: برای گروه آبلی متناهی دلخواه ‎$G$‎، دربارۀ حاصل‌ضرب همۀ عناصر ‎$G$‎ چه می‌توان گفت؟ هر چند جواب سوال مشخص است، اما پیدا کردن آن در یک کتاب درسی استاندارد سخت است. لذا رویکرد خودمان را ارائه نموده و برای رویکرد دیگران مراجع مناسبی معرفی می‌کنیم.

کلیدواژه‌ها


[1] G. E. Andrews, Number Theory, Dover Publications, New York, 1994.
[2] M. Bóna, A Walk Through Combinatorics: An Introduction to Enumeration and Graph Theory, 2nd ed., World Scientific, Singa-pore, 2006.
[3] P. L. Clark (n. d.), Wilson’s theorem:An algebraic approach, http://alpha.math.uga.edu/$\sim$pete/wilson-easy.pdf.
[4] J. Dénes and P. Hermann, On the product of all elements in a finite group, North-Holland Math. Studies, 65 (1982) 105–109.
[5] T. Hungerford, Algebra, Springer Verlag, New York, Inc 1974.
[6] M. Isaacs, Algebra: A Graduate Course, CA: Cole Publishing Company, Pacific Grove, 1994.
[7] A. Khurana and D. Khurana, A theorem of Frobenius and its applications, Math. Mag., 78 (2005) 220–225.
[8] G. A. Miller, A new proof of the generalized Wilson’s theorem, Ann. Math., 4 (1903) 188–190.
[9] O. Ore, Number Theory and Its History, McGraw-Hill Book Company, Inc, New York, 1948