نظریۀ گره‌ها، از گذشته تا امروز

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسنده

پژوهشکده ریاضیات، پژوهشگاه دانش‌های بنیادی، میدان شهید باهنر، تهران، ایران

چکیده

در این مقاله، که اولین مقاله از یک سه‌گانه با موضوع تحولات مهم توپولوژی ابعاد پایین در صد سال گذشته است، به پیشینه و تحولات مهم تاریخی در نظریۀ گره‌ها می‌پردازیم. این پیشینه، شامل تلاش‌های اولیۀ ریاضیدانان برای صورت‌بندی سؤالات اصلی به زبان ریاضی، قرار دادن استدلال‌ها و تعاریف در چارچوب‌های دقیق ریاضی و برخی از ابزارهای مهمی است که از حوزه‌های مختلف ریاضی وام گرفته شد، تا نتایج جالب و درخشانی در نظریۀ گره‌ها حاصل گردد. روایت اصلی این مقاله از کارهای تِیت در قرن نوزدهم آغاز می‌شود و گام‌های مهمی که تا پیش از معرفی ناورداهای پیمانه‌ای برداشته شد را مرور می‌کند. بالاخص به تجزیۀ اول گره‌ها و ناورداهای چندجمله‌ای برای گره‌ها توجه ویژه‌ای خواهیم داشت. در پایان این مقاله، تعدادی از حدس‌های مهم نظریۀ‌گره‌ها که صورت‌هایی ساده و ملموس دارند، مطرح شده است و به برخی نتایجی که در سال‌های اخیر در خصوص این حدس‌ها به‌دست آمده است؛ از جمله برخی مواردی که نویسنده در آنها مشارکت داشته است؛ هم اشاره خواهیم کرد.

کلیدواژه‌ها


[1] I. Agol, The virtual Haken conjecture, With an appendix by Agol, Daniel Groves, and Jason Manning, Doc. Math., 18 (2013) 1045–1087.
[2] I. Agol, J. Hass and W. Thurston, 3-manifold knot genus is NP-complete, Proceedings of the Thirty Fourth Annual ACM Symposium on Theory of Computing, ACM, New York, 2002 761–766.
[3] A. Alishahi and E. Eftekhary, Knot Floer homology and the unknotting number, Geom. Topol., 24 no. 5 (2020) 2435–2469.
[4] A. Alishahi and E. Eftekhary, Tangle Floer homology and cobordisms between tangles, J. Topol., 13 no. 4 (2020) 1582–1657.
[5] A. S. Alishahi and E. Eftekhary, A refinement of sutured Floer homology, J. Symplectic Geom., 13 no. 3 (2015) 609–743.
[6] R. Beer, The Handbook of Tibetan Buddhist Symbols, Serindia Publications Inc, Serindia Publications Inc., 2003.
[7] J. H. Conway, An enumeration of knots and links, and some of their algebraic properties, Computational Problems in Abstract Algebra (Proc. Conf., Oxford, 1967), Pergamon, Oxford-New York-Toronto, Ont., 1970 329–358.
[8] A. Coward and M. Lackenby, An upper bound on Reidemeister moves, Amer. J. Math., 136 no. 4 (2014) 1023–1066.
[9] E. Eftekhary, Knot theory and modern mathematical tools, [In Persian]. preprint, available at https://www.researchgate.net/profile/Eaman-Eftekhary/research.
[10] E. Eftekhary, Topology of 3-manifolds [In Persian]. preprint, available at https://www.researchgate.net/profile/Eaman-Eftekhary/research.
[11] P. Freyd, D. Yetter, J. Hoste, W. B. R. Lickorish, K. Millett and A. Ocneanu, A new polynomial invariant of knots and links, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 12 no. 2 (1985) 239–246.
[12] N. D. Gilbert and T. Porter, Knots and surfaces, Oxford Science Publications, The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1994.
[13] J. Hass, J. C. Lagarias and N. Pippenger, The computational complexity of knot and link problems, J. ACM, 46 no. 2 (1999) 185–211.
[14] V. F. R. Jones, Hecke algebra representations of braid groups and link polynomials, Ann. of Math. (2), 126 no. 2 (1987) 335–388.
[15] C. G. Knott, Life and scientific work of Peter Guthrie Tait, Cambridge University Press, 1911.
[16] G. Kuperberg, Knottedness is in NP, modulo GRH, Adv. Math., 256 (2014) 493–506.
[17] M. Lackenby, The crossing number of composite knots, J. Topol., 2 no. 4 (2009) 747–768.
[18] M. Lackenby, Elementary knot theory, Lectures on geometry, Clay Lect. Notes, Oxford Univ. Press, Oxford, 2017 29–64.
[19] W. B. R. Lickorish, An introduction to knot theory, Graduate Texts in Mathematics, 175, Springer-Verlag, New York, 1997.
[20] K. Reidemeister, Knotentheorie, (German) Reprint, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1974.
[21] M. Scharlemann and A. Thompson, Link genus and the Conway moves, Comment. Math. Helv., 64 no.4 (1989) 527–535.
[22] M. G. Scharlemann, Unknotting number one knots are prime, Invent. Math., 82 no. 1 (1985) 37–55.
[23] H. Schubert, Über eine numerische Knoteninvariante, (German), Math. Z., 61 (1954) 245–288.
[24] A. Sossinsky, Knots. Mathematics with a twist, Translated from the 1999 French original by Giselle Weiss, Harvard University Press, Cambridge, MA, 2002.
[25] C. Sundberg and M. Thistlethwaite, The rate of growth of the number of prime alternating links and tangles, Pacific J. Math., 182 no. 2 (1998) 329–358.