حدس اوسلندر-ریتن برای حلقه‌های گرنشتاین از بعد کرول حداقل 2

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسنده

گروه ریاضی محض، دانشکده علوم ریاضی، دانشگاه کاشان، کاشان، ایران

چکیده

دس اوسلندر‐ریتن یکی از حدس‌های قدیمی و مهم در نظریه نمایش جبرها است که با بسیاری از حدس های همولوژیک دیگر نیز مرتبط است. اثبات درستی این حدس می‌تواند زمینه اثبات چندین حدس همولوژیک دیگر را فراهم آورد. اخیراً صورت دوگانی از این حدس مورد مطالعه قرار گرفته که قوی‌تر از صورت اصلی آن می‌باشد و در برخی حالات، ممکن است بررسی درستی آن ساده‌تر باشد. مقاله حاضر، به بررسی این‌صورت دوگان در مورد جبرهای نوتری گرنشتاین روی حلقه‌های با بعد کرول حداقل ۲ می‌پردازد. در ابتدا نشان داده می‌شود که به‌منظور بررسی این حدس روی چنین جبرهایی، کافی است تنها حالتی را در نظر بگیریم که بعد کرول حلقه زمینه دقیقاً ۲ باشد. سپس توجه خود را تنها به چنین جبرهایی معطوف کرده و درستی حدس مذکور را برای مدول‌های با طول متناهی نشان می‌دهیم.

کلیدواژه‌ها


[1] T. Araya, The Auslander-Reiten conjecture for Gorenstein rings, Proc. Amer. Math. Soc., 137 (2009) 1941–1944.
[2] M. Auslander, Functors and morphisms determined by objects, Representation theory of algebras (Proc. Conf., Temple Univ., Philadel-phia, Pa.), (1976) 1-244.
[3] M. Auslander and M. Bridger, Stable module theory, Mem. Amer. Math. Soc., 94, Providence, R.I., 1969.
[4] M. Auslander and I. Reiten, On a generalized version of the Nakayama conjecture, Proc. Amer. Math. Soc., 52 (1975) 69–74.
[5] M. Auslander, I. Reiten and S. O. Smalø, Representation Theory of Artin Algebras, in: Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 36, Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
[6] A. Bahlekeh and Sh. Salarian, On the Auslander-Reiten conjecture for Cohen-Macaulay rings and path algebras, Comm. Alg., 45 (2017) 121–129.
[7] W. Bruns and J. Herzog, Cohen-Macaulay rings, revised edition, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39, Cambridge Uni-versity Press, Cambridge, 1998.
[8] O. Celikbas and R. Takahashi, Auslander-Reiten conjectuer and Auslander-Reiten duality, J. Algebra, 382 (2013) 100–114.
[9] E. E. Enochs and O. M. G. Jenda, On Gorenstein injective modules, Comm. Alg., 21 (1993) 3489–3501.
[10] E. E. Enochs and O. M. G. Jenda, Gorenstein injective and projective modules, Math. Z., 220 (1995) 611–633.
[11] E. E. Enochs and O. M. G. Jenda, Relative Homological Algebra, De Gruyter Exp. Math., 30, Walter de Gruyter and Co., Berlin, 2000.
[12] H. Eshraghi and A. Mahin Fallah, Auslander-Reiten conjecture in a dual vein, J. Algebras and Representation Theory, 24 (2021) 1279–1294.
[13] D. Happel, Homological conjectures in representation theory of fnite dimensional algebras, Sherbrook Lecture Notes Series, (1991).
[14] C. Huneke and G. J. Leuschke, On a conjecture of Auslander and Reiten, J. Algebra, 275 (2004) 781–790.
[15] I. Kaplansky, Commutative rings, Revised edition. The University of Chicago Press, Chicago and London, 1974.
[16] T. Nakayama, On algebras with complete homology, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 22 (1958) 300–307.
[17] J. J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra, Academic press, 1979.
[18] M. Sega, Vanishing of cohomology over Gorenstein rings of small codimension, Proc. Amer. Math. Soc. 131(8) (2003) 2313-2323.
[19] H. Tachikawa, Quasi-Frobenius rings and generalizations. QF-3 and QF-1 rings, Lecture Notes in Mathematics Series Profile, 351, Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, (1973) 172 p.