روش افراز واحد چندجمله‌ای؛ ابزاری کارامد در تقریب توابع

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسندگان

1 گروه ریاضی کاربردی و علوم کامپیوتر، دانشکده ریاضی و آمار، دانشگاه اصفهان، اصفهان، ایران

2 گروه علوم کامپیوتر، دانشکده علوم ریاضی، دانشگاه شهرکرد، شهرکرد، ایران

3 گروه ریاضی، پردیس خوانسار، دانشگاه اصفهان، ایران

چکیده

در این مقاله، تقریب و درونیابی چندجمله‌ای مبتنی بر افراز واحد را بررسی و از آن به عنوان روشی کارامد برای حلِ عددیِ مسائل چندمتغیره استفاده می‌کنیم. نخست تقریب‌های چندجمله‌ای چندمتغیره مطرح و خواص مقیاس‌پذیری آن‌ها را اثبات و برای به‌دست آوردن کران‌های پایداری و همگرایی از آن‌ها استفاده می‌کنیم. برای ارائه یک الگوریتم پایدار، این تقریب‌ها به صورت موضعی روی زیردامنه‌هایی از دامنه اصلی محاسبه و به کمک توابع افراز واحد به‌هم متصل می‌شوند تا یک تقریب سراسری هموار حاصل شود. در پایان کران خطای تقریب سراسری نیز بر اساس کران‌های خطای تقریب‌های موضعی به‌دست می‌آید. ایده این روش، حل چندین مسئله کوچکِ پایدار به جای حل یک مسئله بزرگ بدوضع است. از لحاظ محاسباتی چنین رویکردی بسیار کارآمد و قابل استفاده در حوزه وسیعی از کاربردهاست. برای نمونه حل عددی معادلات دیفرانسیل را به کمک این تقریب مورد بررسی قرار می‌دهیم. در تقریب با این روش از شبکه‌بندی ناحیه (همانند روش‌های المان متناهی و حجم متناهی) اجتناب و به جای آن کمیّت مجهول بر حسب نقاط پراکنده نوشته می‌شود. از این‌رو این روش را می‌توان یک روش بدون شبکه نیز به حساب آورد.

کلیدواژه‌ها

موضوعات


[1] D. Braess, Nonlinear Approximation Theory, Springer, New York, 1986.
[2] M. A. Darani,The RBF partition of unity method for solving the Klein-Gordon equation, Engineering with Computers, 37
(2021) 795.
[3] C. De Boor, A Practical Guide to Splines, Applied Mathematical Sciences, Springer, Berlin, 2001.
[4] S. De Marchi, A. Martínez, and E. Perracchione, Fast and stable rational RBF-based partition of unity interpolation, J. Comput.
Appl. Math., 349 (2019) 331–343.
[5] G. E. Fasshauer, Meshfree Approximations Methods with Matlab, World Scientific, Singapore, 2007.
[6] R. Franke, Scattered data interpolation: tests of some methods, Math. Comp., 48 (1982) 181–200.
[7] P. Gonnet, R. Pachon and L. N. Trefethen, Robust rational interpolation and least-squares, Electron. Trans. Numer. Anal., 38
(2011) 146–167.
[8] M. Junk, Do finite volume methods need a mesh?, in Meshfree Methods for Partial Differential Equations, M. Griebel and
M. A. Schweitzer, eds., Springer, New York, 2003, 223–238.
[9] E. Larsson, V. Shcherbakov and A. Heryudono, A least squares radial basis function partition of unity method for solving
PDEs, SIAM J. Sci. Comput., 39 (2017) A2538–A2563.
[10] J. M. Melenk and I. Babuška, The partition of unity finite element method: Basic theory and applications, Comput. Methods
Appl. Mech. Engrg., 139 (1996) 289–314.
[11] D. Mirzaei, The direct radial basis function partition of unity (D-RBF-PU) method for solving PDEs, SIAM J. Sci. Comput.,
43 (2021) A54–A83.
[12] Y. Nakatsukasa, O. Sète, and L. N. Trefethen, The AAA Algorithm for Rational Approximation, SIAM J. Sci. Comput., 40
(2018) A1494–A1522.
[13] A. Safdari-Vaighani, A. Heryudono, and E. Larsson, A radial basis function partition of unity collocation method for
convection—diffusion equations arising in financial applications, J. Sci. Comput., 46 (2015) 341–367.
[14] V. Shcherbakov, Radial basis function partition of unity operator splitting method for pricing multi-asset American options,
BIT, 56 (2016) 1401–1423.
[15] D. Shepard, A two-dimensional interpolation function for irregularly-spaced data, in Proceedings of the 23th National Con-ference ACM, 1968, 517–523.
[16] J. Stoer and R. Bulirsch, Introduction to Numerical Analysis, Texts in Applied Mathematics, Springer, New York, 2002.
[17] L. N. Trefethen, Approximation Theory and Approximation Practice, SIAM, Philadelphia, 2013.
[18] H. Wendland, Fast evaluation of radial basis functions: methods based on partition of unity, in Approximation Theory, X:
Wavelets, Splines, and Applications (Nashville, TN., 2002), Vanderbilt University Press, 473–483.
[19] H. Wendland, Scattered Data Approximation, Cambridge University Press, Cambridge, 2005.
[20] D. Mirzaei, Advanced Numerical Analysis, Isfahan University Press, Isfahan, 2014.