در مورد اثبات‌های گنگ بودن $\sqrt{2}$

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسندگان

1 گروه علوم کامپیوتر، دانشگاه صنعتی بیرجند، بیرجند، ایران

2 گروه علوم پایه، آموزشکده فنی و حرفه‌ای دختران بیرجند، دانشگاه فنی و حرفه‌ای

چکیده

این مقاله به مرور بعضی از معروف‌ترین اثبات‌های گویا نبودن ریشه دوم عدد ‎2‎ می‌پردازد. با توجه به ماهیت تعریف اعداد غیر گویا، خواهیم دید که بیشتر اثبات‌ها (بجز اثبات شماره ‎23)‎ یا به صورت مستقیم و یا به صورت غیر مستقیم با استفاده از برهان خلف انجام شده‌اند. سعی کرده‌ایم مواردی که قابلیت تعمیم به یک اثبات برای گنگ بودن ریشه دوم و یا ریشه بالاتر سایر اعداد دارد، را نیز متذکر شویم. برخی از اثبات‌ها را کمی تغییر داده‌ایم که گفتار مناسب متن حاصل آید. بعلاوه برخی نتایج جدید نیز در بعضی موارد بدست آمده است.

کلیدواژه‌ها


[1] س. شهشهانی، حساب دیفرانسیل و انتگرال، 1، ویراست دوم، انتشارات فاطمی، (1388).
[2] K. V. Fritz, The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum, Ann. of Math., Second Series, 46 (1945) 242–264.
[3] Aristotle (Translator : R. Smith), Prior Analytics, Hackett Publishing Company, (1989).
[4] B. L. Van Der Waerden, Science Awakening I, Springer Netherlands, (1975).
[5] T. M. Apostol, Irrationality of the square root of two - a geometric proof, Amer. Math. Monthly, 107 (2000) 841–842.
[6] O. Neugebauer, The Exact Sciences in Antiquity, 2nd. edition, Brown University Press, Providence, R. I., (1957).
[7] O. Neugebauer, Mathematische Keilschrift-Texte/Mathematical Cuneiform Texts, Springer-Verlag Berlin Heidel-berg, (1935).
[8] V. C. Harris, Terminal digit proof that √ 2 is irrational, The Mathematical Gazette, 53 (1969) 65.
[9] V. C. Harris, On proofs of the irrationality of √ 2 , The Mathematics Teacher, 64 (1971) 19–21.
[10] H. Eves, The irrationality of √ 2 , The Mathematics Teacher, 38 (1945) 317–318.
[11] E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis, 4nd edition, Cambridge University Press, (1927).
[12] M. V. Subbarao, A simple irrationality proof for quadratic surds, Amer. Math. Monthly, 75 (1968) 772–773.
[13] E. Halfar, The irrationality of √ 2 , The American Mathematical Monthly, 62 (1955) 437.
[14] R. Dedekind (Translator: W. W. Beman), Essays on the Theory of Numbers, Dover Publications, (1963).
[15] J. Conway and V. Neumann, The power of mathematics, in Power (Darwin College Lectures), editors: A. Black-well, D. MacKay, Cambridge University Press, (2005).
[16] S. J. Miller and D. Montague, Picturing Irrationality, Math. Mag., 85 (2012) 110–114.
[17] G. Cairns, Proof without words: √ 2 is irrational, Math. Mag., 85 (2012) 123.
[18] J. Stillwell, Mathematics and Its History, 3nd edition, Springer-Verlag New York, (2010).
[19] D. Kalman, R. Mena, S. Shahriari, S. J. Miller and D. Montague, Variations on an irrational theme-geometry, dynamics, algebra, Math. Mag., 70 (1997) 93–104.
[20] M. Laczkovich, Conjecture and Proof, Mathematical Association of America, (2001).
[21] V. H. Moll, Numbers and Functions: From a classical-experimental mathematician’s point of view, Mathematica Association of America, (2012).
[22] F. V. Waugh and M. W. Maxfield, Side and diagonal numbers, Math. Mag., 40 (1967) 74–83.
[23] T. M. Liggett and P. Petersen, The law of large numbers and √ 2 , Amer. Math. Monthly, 102 (1995) 31–35.
[24] J. Conway and R. Guy, The Book of Numbers, Springer-Verlag New York, (1996).
[25] G. C. Berresford, A simpler proof of a well-known fact, Amer. Math. Monthly, 115 (2008) 524.
[26] N. C. Ferreno, Yet another proof of the irrationality of √ 2 , Amer. Math. Monthly, 116 (2009) 68–69.
[27] R. W. Floyd, What else Pythagoras could have done, Amer. Math. Monthly, 96 (1989) 67.
[28] D. Hensley, Continued Fractions, World Scientific Publishing, (2006).
[29] J. A. C. Araujo, A difference equation leading to the irrationality of √ 2 , Amer. Math. Monthly, 121 (2014) 443.
[30] K. K. Usadi and K. Mikhail, Meaning in classical mathematics: is it at odds with intuitionism?, Intellectica, 56
(2011) 223–302.
[31] S. M. A. Khatami, A model theoretic proof of the irrationality of √ 2 , Amer. Math. Monthly, (submitted).
[32] A. Bogomolny, Square root of 2 is irrational, Cut the Knot, (1996–2018).