$G$-میانگین‌پذیری جمع مستقیم، ضرب تانسوری و ضرب آزاد جبرهای فون-نویمان

قانعی, محمدرضا

doi:10.22108/msci.2025.144699.1734

$G$-میانگین‌پذیری جمع مستقیم، ضرب تانسوری و ضرب آزاد جبرهای فون-نویمان

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسنده

محمدرضا قانعی

.اصفهان، دانشگاه اصفهان، دانشکده ریاضی و کامپیوتر خوانسار‏، گروه ریاضی

10.22108/msci.2025.144699.1734

چکیده

برای یک خانواده از $W^*$-سیستم‌های دینامیکی $(M_i,G,\alpha_i)_{i\in I}$ که $G$ گروه فشرده موضعی است، ثابت می‌کنیم اگر جمع مستقیم $\bigoplus_{i\in I} M_{i}$، $G$-میانگین‌پذیر باشد، آنگاه هر $M_i$ نیز $G$-میانگین‌پذیر است و بالعکس اگر $M_i$ها یک خانواده شمارا از جبرهای فون-نویمان $G$-میانگین‌پذیر باشند آنگاه $\bigoplus_{i\in I} M_{i}$ نیز $G$-میانگین‌پذیر خواهد بود. برای دو $W^*$-سیستم دینامیکی $(M,G,\alpha)$ و $(N,K,\beta)$ نشان می‌دهیم که ضرب تانسوری فون-نویمانی $M\bar{\otimes}N$، $G\times K$-میانگین‌پذیر است اگر و تنها اگر $M$، $G$-میانگین‌پذیر و $N$، $K$-میانگین‌پذیر باشد. نشان می‌دهیم اگر گروه $G$ میانگین‌پذیر داخلی باشد، آنگاه جبر فون-نویمان گروهی $VN(G)$ نیز $G$-میانگین‌پذیر می‌شود. هم‌چنین ثابت می‌کنیم $VN(G)\bar{\otimes}M$، $G$-میانگین‌پذیر است اگر عمل $\alpha$ میانگین‌پذیر داخلی و $M$ نیز $G$-میانگین‌پذیر باشد. در نهایت نشان می‌دهیم $M$ و $N$ دو جبر فون-نویمان $G$-میانگین‌پذیر هستند اگر و تنها اگر جبر فون-نویمانی ضرب آزاد آنها یعنی $M\bar{*}N$، $G$-میانگین‌پذیر باشد. ثابت می‌کنیم میانگین‌پذیری گروه $G$ معادل $G$- میانگین‌پذیری $L^\infty(G)\bar{*}L^\infty(G)$ است.

کلیدواژه‌ها

موضوعات

آنالیز

مراجع

[1] M. E. B. Bekka, Amenable unitary representations of locally compact groups, Invent. Math., 100 no. 2 (1990) 383–401.
[2] J. Crann and Z. Tanko, On the operator homology of the Fourier algebra and its cb-multiplier completion, J. Funct. Anal., 273 (2017) no. 7 2521–2545.
[3] F. P. Greenleaf, Invariant means on topological groups and their applications, Van Nostrand Mathematical Studies, No. 16, Van Nostrand Reinhold Co., New York-Toronto-London, 1969.
[4] L. Bing-Ren, Introduction to operator algebras, world Scientific, 1992.
[5] E. Hewitt and K. A. Ross, Abstract harmonic analysis. Vol. I: Structure of topological groups Integration theory, group representations, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 115, Springer-Verlag, Berlin-Göttingen-Heidelberg; Academic Press, Inc., Publishers, New York, 1963.
[6] A. T. Lau and A. L. T. Paterson, Group amenability properties for von Neumann algebras, Indiana Univ. Math. J., 55 no. 4 (2006) 1363–1388.
[7] A. McKee and R. Pourshahami, Amenable and inner amenable actions and approximation properties for crossed products by locally compact groups, Canad. Math. Bull., 65 no. 2 (2022) 381–399.
[8] A. L. T. Paterson, Amenability, mathematical surveys and monographs, 29, American mathematical society, Providence, RI, 1988.
[9] J.-P. Pier, Amenable locally compact groups, Pure and Applied Mathematics (New York), A WileyInterscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1984.

[10] R. Stokke, Quasi-central bounded approximate identities in group algebras of locally compact groups, Illinois J. Math., 48 no. 1 (2004) 151–170.
[11] M. Takesaki, Theory of operator algebras. II, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 125, Operator Algebras and Non-commutative Geometry, Springer-Verlag, Berlin, 2003.
[12] D. V. Voiculescu, K. J. Dykema and A. Nica, Free random variables, A noncommutative probability approach to free products with applications to random matrices, operator algebras and harmonic analysis on free groups. CRM Monograph Series, American Mathematical Society, Providence, RI, 1992.