یک روش تکراری در حل عددی مدل بیماری‌های بومی با توزیع‌های دلخواه دوره‌های عفونت برای زمان‌های طولانی

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسنده

گروه ریاضی، دانشگاه صنعتی قم، قم، ایران

چکیده

در این مقاله مد‌ل‌های بومی برای دوره‌های عفونی را در نظر می‌گیریم که به‌طور دلخواه توزیع شده‌اند. نمونه‌هایی از چنین بیماری‌ها عبارتند از: HIV/ایدز ، سرخچه، آنفلوآنزا و غیره. محقّقین زیادی از اوایل قرن بیستم به بعد راجع به مدل‌سازی ریاضی، وجود جواب، رفتار مجانبی، نقاط تعادلی، شکاف‌گاه‌ها و پایداری مد‌ل‌ها تألیفات متعدّد انجام داده‌اند. بیشتر این مدل‌ها به صورت معادلات دیفرانسیل، معادلات انتگرال، معادلات جبری غیرخطی و یا تلفیقی از این‌ها هستند. در این کار ابتدا مدل موجود را به‌صورت تلفیقی از یک سیستم انتگرالی، به‌همراه یک معادله‌ی جبری غیرخطی در می‌آوریم. این مدل را با استفاده از یک فرآیند تکرار، حل عددی می‌کنیم. سازماندهی الگوریتم ارائه شده چنان است که مسأله را در اجتماع بازه‌های کوتاه زمانی به‌صورت تکراری، حل عددی کرده و فرآیند، بازه‌به‌بازه جلو می‌رود. همگرایی روش، به‌طور مفصل ارائه می‌گردد. در قسمت نتایج عددی ابتدا با توجه به ساختار مسأله و با استفاده از تبدیل لاپلاس، طیفی از مسائل را طراحی می‌کنیم که دارای جواب تحلیلی باشند. در نهایت دقّت و کارایی روش پیشنهاد شده را با استفاده ازدو نمونه مسأله آزمون نشان می‌دهیم.

کلیدواژه‌ها


[1] F. Asadi-Mehregan, P. Assari and M. Dehghan, The numerical solution of a mathematical model of the Covid‑19 pandemic utilizing a meshless local discrete Galerkin method, Engineering with Computers, 39 (2023) 3327–3351.
[2] F. Asadi-Mehregan, P. Assari and M. Dehghan, On the approximate solution of dynamic systems derived from the HIV infection of CD+4 T cells using the LRBF-collocation scheme, Engineering Analysis with Boundary Elements, 153 (2022) 39–50.
[3] F. Brauer, Models for the spread of universally fatal diseases, J. Math. Biol., 28 (1990) 451–462.
[4] F. Brauer, Models for the spread of universally fatal diseases. II, Differential equations models in biology, epidemiology and ecology (Claremont, CA, 1990), Lecture Notes in Biomath., 92, Springer, Berlin, (1991) 57–69.
[5] F. Brauer, A characteristic equation arising in models for diseases with vertical transmission and without immunity, Differential equations and applications to biology and to industry (Claremont, CA, 1994), World Sci. Publ., River Edge, NJ, (1996) 41–48.
[6] R. L. Burden and J. D. Faires, Numerical analysis, 7rd ed., Brooks-Cole, Pacific Grove, CA, 2001.
[7] C. Castilo-Chavez, K. L. Cooke, W. Huang and S. A. Levin, On the role of long incubation periods
in the dynamics of acquired immunodeficiency syndrome (AIDS). Part 1: Single population models, J.
Math. Biol., 27 (1989) 373–398.
[8] Z. Feng, H. R. Thieme, Endemic models with arbitrarily distributed periods of infection I. General
theory, SIAM J. Appl. Math., 61 (2000) 803–833.
[9] H. W. Hethcote and D. W. Tudor, Integral equation models for endemic infectious diseases, J. Math. Biology, 9 (1980) 37–47.
[10] H. W. Hethcote and J. W. Van Ark, Modeling HIV transmission and AIDS in the united states, Lecture Notes in Biomathematics 95, Springer, New York, 1992.
[11] F. Hoppensteadt, An age dependent epidemic problem, J. Franklin Inst., 297 (1974) 325–333.
[12] F. Hoppensteadt, Mathematical theories of populations: demographics, genetics, and epidemics, CBME-NSF Regional Conf. Ser. In Appl. Math., 15, SIAM, Philadelphia, 1975.
[13] J. D. Hoffman, Numerical methods for engineers and scientists, second edition, Marcel Dekker, Inc. All Rights Reserved, 2001.
[14] R. Kress, Numerical analysis, Springer-Verlag, New York, Inc. 1998.
[15] W. O. Kermack and A. G. McKendrick, A Contributions to the mathematical theory of epidemics, Proc. Roy. Soc. A, 115 (1927) 700–721.
[16] W. O. Kermack and A. G. McKendrick, Contributions to the mathematical theory of epidemics. II. The problem of endemicity, Proc. Roy. Soc. A, 138 (1932) 55–83.
[17] W. O. Kermack and A. G. McKendrick, Contributions to the mathematical theory of epidemics. III. Further studies of the problem of endemicity, Proc. Roy. Soc. A, 141 (1933) 94–122.
[18] X. Lin and P. Van Den Driessche, A threshold result for epidemic model, J. Math. Biol., 30 (1992)
647–654.
[19] C. P. Simon and J. A. Jacquez, Reproduction numbers and the stability of equilibria of SI models for heterogeneous populations, SIAM J. Appl. Math., 52 (1992) 541–576.
[20] J. Stoer and R. Bulirsch, Introduction to numerical analysis, second edition, Translated by R. Bartels. W. Gautschi, and C. Witzgall, Springer-Verlag, New York, Inc. 1993.
[21] W. Stech and M. Williams, Stability in a class of cyclic epidemic models with delay, J. Math. Biol., 11 (1981) 95–103.
[22] H. R. Thieme and P. Van Den Driessche, Global stability in cyclic epidemic models with disease fatalities Differential equations with applications to biology (Halifax, NS, 1997), Fields Inst. Commun., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 21 (1999) 459–472.
[23] H. R. Thieme, The transition through stages with arbitrary length distributions, and applications in epidemics, Mathematical approaches for emerging and reemerging infectious diseases: models, methods, and theory (Minneapolis, MN, 1999), IMA Vol. Math. Appl., 126, Springer, New York, (2002) 45–84.
[24] ب. بابایار رازلیقی، روش برون‌یابی برای حل عددی یک مدل بیماری‌های عفونی بومی، پژوهش‌های ریاضی، 5 (1) (1398) 38--29.
[25] غ. مصاحب، آنالیز ریاضی، جلد اوّل تئوری اعداد حقیقی، مؤسسه انتشارات امیر کبیر، 1348.