آنالیز سازنده بیشاپ و مقایسه­ آن با آنالیز کلاسیک

نوع مقاله : مقاله پژوهشی

نویسندگان

دانشگاه یاسوج

چکیده

در این مقاله، منطق شهودی براوِر در ریاضیات و آنالیز ریاضی سازنده بیشاپ مبتنی بر این منطق را معرفی کرده و تفاوت‌های آن‌ها با منطق و آنالیز ریاضی کلاسیک را بیان می‌کنیم. تفاوت بنیادی آنالیز سازنده با آنالیز کلاسیک در این است که در آنالیز سازنده بر خلاف آنالیز کلاسیک، همواره راهکار و الگوریتم یافتن عناصر مطلوب در قضایای وجودی، ارائه می‌شود و لذا می‌توان این نوع از آنالیز ریاضی را یک نوع زبان برنامه‌نویسی سطح بسیار بالا قلمداد کرد. به منظور آشنایی دقیق با روش‌های استدلال سازنده، ابتدا دستگاه اعداد حقیقی را با یک روش سازنده ساخته و تفاوت‌های اصولی آنالیز سازنده نسبت به آنالیز کلاسیک را که ریشه در خواص شناخته شده اعداد حقیقی دارد، تبیین می‌نماییم. در ادامه، چند قضیه وجودی در آنالیز کلاسیک و معادل سازنده­ آنها را بیان می‌کنیم. خواهیم دید که در اکثر مواقع، قضایای وجودی دقیق در آنالیز کلاسیک، به قضایای وجودی تقریبی در آنالیز سازنده تبدیل می‌شوند.

کلیدواژه‌ها

موضوعات


[1] م. صال مصلحیان، فلسفه ریاضی، انتشارات واژگان خرد، 1384.
[2] م. فان آتن، فلسفه براوئر، ترجمه م. اردشیر، انتشارات هرمس، 1387.
[3] P. Andersson, Exact Real Arithmetic with Automatic Error Estimates in a Computer Algebra System, Master’s thesis, Uppsala University, Uppsala, Sweden, 2001.
[4] E. A. Bishop, Foundations of Constructive Analysis, McGraw-Hill, New York, 1967.
[5] E. A. Bishop and D. S. Bridges, Constructive Analysis, Springer-Verlag, Heidelberg, 1985.
[6] D. S. Bridges and L. S. Vita, Techniques of Constructive Analysis, Springer, New York, 2006.
[7] L. E. J. Brouwer, Collected Works I, Philosophy and Foundations of Mathematics, North-Holland, Amsterdam, 1975.
[8] R. F. Brown, Handbook of Topological Fixed Point Theory, Springer, Dordrecht, 2005.
[9] D. van Dalen, L. E. J. Brouwer, Springer-Verlag, London, 2013.
[10] M. Hendtlass, Fixed point theorems in constructive mathematics, Journal of Logic & Analysis, 4 (2012) 1–20.
[11] A. Heyting, Die formalen regeln der intuitionistischen logik, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., (1930) 42–56.
[12] W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, New York, 1976.
[13] H. Schwichtenberg, Program extraction in constructive analysis, Logicism, Intuitionism, and Formalism, 341 (2009) 255–285.
[14] A. S. Troelstra, D. van Dalen, Constructivism in Mathematics An Introduction, 1, North-Holland, New York, 1988. [15] I. Weiss, The real numbers - a survey of constructions, Rocky Mountain Journal of Mathematics, 45 (2015) 737–762.
[16] I. Weiss, The reals as rational cauchy filters, New Zealand Journal of Mathematics, 46 (2016) 21–51.