دانشگاه اصفهان نشریه ریاضی و جامعه 2345-6493 11 3 2026 01 11 Recognition of the group $E_{6}(5)$ by prime graph شناسایی پذیری گروه $E_6(5)$ به وسیله گراف اول 1 8 30163 10.22108/msci.2025.144850.1736 FA زهرا مومن گروه آموزش ریاضی، دانشکده شهید شرافت، دانشگاه فرهنگیان، تهران، ایران Journal Article 2025 04 07 If \( n \) is an integer, the set of all prime divisors of \( n \) is denoted by \( \pi(n) \). Let \( G \) be a finite group. Then \( \pi(|G|) \) is denoted by \( \pi(G) \). The prime graph of \( G \), denoted by \( \Gamma(G) \), is constructed as follows: the vertex set is \( \pi(G) \), and two distinct primes \( p \) and \( q \) are connected by an edge if and only if \( G \) has an element of order \( pq \). A finite nonabelian simple group $P$ is called quasirecognizable by prime graph, if each finite group $G$ with $\Gamma(G) = \Gamma(P)$ has a unique composition factor isomorphic to $P$. We denote by $k(\Gamma(G))$ the number of isomorphism classes of finite groups $H$ satisfying $\Gamma(G)=\Gamma(H)$. Given a natural number $r$, a finite group $G$ is called $r$-recognizable by prime graph if $k(\Gamma(G))=r$ and if $k(\Gamma(G))=1$, is called recognizable . In this paper, as the main result, we show that if \( G \) is a finite group such that \( \Gamma(G) = \Gamma(E_6(5)) \), then \( G \cong E_6(5) \). اگر $n$ یک عدد صحیح باشد، مجموعه تمام مقسوم علیه‌های اول $n$ را با $\pi(n)$ نشان می‌دهیم. فرض کنید $G$ یک گروه متناهی باشد. در این‌صورت $\pi(|G|)$ را با $\pi(G)$ نشان می‌دهیم. گراف اول $G$، با $\Gamma(G)$ نشان داده و به‌صورت زیر ساخته می‌شود: مجموعه رئوس آن $\pi(G)$ است و دو عدد اول متمایز $p$ و $q$ توسط یک یال به هم وصل می‌شوند اگر و تنها اگر $G$ یک عضو از مرتبه $pq$ داشته باشد. یک گروه ساده غیرآبلی متناهی $P$، شبه شناسایی‌پذیر به وسیله گراف اول نامیده می‌شود اگر هر گروه متناهی $G$ که در آن $\Gamma(G)=\Gamma(P)$، یک عامل ترکیبی یکتا‌یکریخت با $P$ داشته باشد. تعداد کلاس‌های یکریختی گروه‌های متناهی $H$ که در آن $\Gamma(G)=\Gamma(H)$ است را با $k(\Gamma(G))$ نشان می‌دهیم. برای یک عدد طبیعی $r$، یک گروه متناهی $G$، $r$-شناسایی‌پذیر به‌وسیله گراف اول نامیده می‌شود اگر $k(\Gamma(G))=r$ و هر گاه $k(\Gamma(G))=1$، شناسایی‌پذیر نامیده می‌شود. در این مقاله، به‌عنوان نتیجه اصلی نشان می‌دهیم که اگر $G$ یک گروه متناهی باشد به‌طوری‌که $\Gamma(G)=\Gamma(E_6(5))$، آنگاه $G\cong E_6(5)$. https://math-sci.ui.ac.ir/article_30163_5416e125b3ad24cb4329f39a658cbe3e.pdf