دانشگاه اصفهان نشریه ریاضی و جامعه 2345-6493 1 3 2016 11 21 The missing place of the number 'e' in secondary school books جای خالی عدد نپر در کتاب های متوسطه 13 23 7547 10.22108/msci.2016.7547 FA مهدی حسنی دانشگاه زنجان عزیزه احمدی دانشگاه زنجان Journal Article 2014 04 29 The limited information about the number $\mathrm{e}$ found in secondary school books prompted us to write this article in defense of the possibility of providing more comprehensive explanations about this number at the secondary education level. We begin with presenting a historical background of this number and then proceed to prove the inequality, $0<\mathrm{e}-\sum_{k=0}^{n}{1}/{k!}<{1}/{(n.n!)}$ which holds for every $n\geq 1$. By utilizing this inequality, we infer the enigmatic nature of $\mathrm{e}$ and calculate the sum of $\sum_{k=0}^{n} P(n,k)$. This sum leads us to the counting of distinct paths between two arbitrary vertices of a complete graph. Finally, we demonstrate the proof of the inequality involving arithmetic, geometric, and harmonic means based on the inequality Image. All the proofs and deductions are based on the materials covered in the final year of secondary education. مطالب اندکی که درباره‌ی عدد $\mathrm{e}$ در کتب دبیرستانی وجود داشت ما را بر آن داشت که مقاله‌ی حاضر را در دفاع از این که می‌توان حرف‌های بیشتری در ارتباط با این عدد در سطح متوسطه بیان نمود، به رشته‌ی تحریر درآوریم. کارمان را با ارائه‌ی تاریخچه‌ای از این عدد آغاز می‌کنیم، و سپس به اثبات نامساوی $0<\mathrm{e}-\sum_{k=0}^{n}{1}/{k!}<{1}/{(n.n!)}$ که برای هر عدد طبیعی $n\geq 1$ برقرار است، می‌پردازیم. با کمک این نامساوی گنگ بودن $\mathrm{e}$ را استنتاج کرده، مقدار مجموع $\sum_{k=0}^{n} P(n,k)$ را محاسبه می‌کنیم. مجموع مذکور، ما را به شمارش تعداد مسیرهای متمایز بین دو رأس دلخواه از یک گراف کامل رهنمون می‌دارد. در پایان، اثباتی از نامساوی میانگین‌های حسابی، هندسی و همساز را بر اساس نامساوی $x^{\mathrm{e}}\leq \mathrm{e}^{x}$ که برای هر $x>0$ برقرار است، بیان می‌کنیم. تمامی برهان‌ها و استنتاج‌ها بر اساس مطالبی است که در سال آخر متوسطه بیان می‌شود. https://math-sci.ui.ac.ir/article_7547_ff9daeffa9086b3eab13b6273d4697ab.pdf