دانشگاه اصفهان نشریه ریاضی و جامعه 2345-6493 10 4 2025 06 29 Calabi flow on Riemann surfaces شار کالابی روی رویه‌های ریمانی 53 60 28963 10.22108/msci.2024.142651.1687 FA رضا سیدعلی پژوهشکده ریاضیات، پژوهشگاه دانش‌های بنیادی، تهران، ایران Journal Article 2024 08 31 An important theorem in complex analysis is the uniformization theorem. As a result of uniformizationn theorem, any compact Riemann surface admits a metric of constant Gaussian curvature. A modern way to prove the uniformization theorem is to use geometric flows. Since seminal work of Perleman, many authors prove it using curvature flows. In an important work, Tian used Ricci flow to prove the uniformization theorem. Later Chen used the Calabi flow to give another proof of the Theorem. In contrast to Ricci flow, Calabi flow is a fourth order parabolic PDE. It is quite difficult to deal with fourth order PDEs partially due to lack of any maximum principle. Even proving the long time existence of Calabi flow is hard and it is still open in complex dimension $n \geq 2.$ In a breakthrough, Chen-Cheng provide a strong tool in order to deal with certain fourth order nonlinear PDEs. In this article, appealing to the results of Chen-Cheng, we give a different proof for the long time existence of the Calabi flow on compact Riemann surfaces of positive genus. قضیه‌ی یکنواخت‌سازی یکی از قضایای مهم در آنالیز مختلط است. از جمله نتایج این قضیه آن است که هر رویه‌ی ریمانی فشرده متریکی با انحنای گاووسی ثابت می‌پذیرد. یکی از راه‌های مدرن اثبات قضیه‌ی یکنواخت‌سازی استفاده از شار‌های هندسی است. پس از کار درخشان پرلمان برای اثبات حدس پوانکاره، برخی نویسندگان اثبات‌هایی برای این قضیه بر اساس شارهای انحنا ارائه کردند. در یکی از کارهای مهم این حوزه، تیان با استفاده از شار ریچی قضیه‌ی یکنواخت‌سازی را ثابت کرد. بعدتر، چن با استفاده از شار کالابی اثبات دیگری از این قضیه را ارائه نمود. برعکس شار ریچی، شار کالابی معادله‌ دیفرانسیلی سهموی از مرتبه چهار است، و کار کردن با چنین معادله‌های دیفرانسیلی به خاطر برقرار نبودن اصل ماکزیمم دشوار است. حتی اثبات وجود جواب در زمانهای طولانی برای شار کالابی ساده نیست و برای بعدهای بیشتر یا مساوی ۲، مساله‌ای باز است. در یکی از کارهای بسیار مهم سالهای اخیر، چن و چنگ ابزاری بسیار قدرتمند برای کار بر روی معادلات دیفرانسیل غیرخطی مرتبه ۴ ساخته‌اند. در این مقاله، با استفاده از نتیجه‌ی یاد شده، اثبات جدیدی برای وجود جواب در زمان طولانی برای شار کالابی روی رویه‌های فشرده‌ی ریمانی از گونای مثبت ارائه می‌کنیم. https://math-sci.ui.ac.ir/article_28963_63a155f4dee7af7b5a005d0fff110412.pdf