دانشگاه اصفهان نشریه ریاضی و جامعه 2345-6493 6 3 2021 11 22 Asymptotic expansion of a sequence related to the number e and its application in analytical counting of number of paths in full graph بسط مجانبی یک دنباله مرتبط با عدد نپر و کاربرد آن در شمارش تحلیلی تعداد مسیرها در گراف کامل 19 24 26416 10.22108/msci.2022.130416.1468 FA مهدی حسنی گروه ریاضی، دانشکده علوم، دانشگاه زنجان، زنجان، ایران Journal Article 2021 09 06 In this paper we study the number of distinct paths between any pair of vertices in the complete graph $K_{n+2}$. First we show that the number of these paths is $w_{n+2}=e_n n!$, where $e_n=\sum_{j=0}^n 1/j!$ is the partial sum of the series representing the number $e$. Then we obtain an integral representation, similar to the integral representation of the Gamma function, for $e_n$. By using this representation we get an asymptotic expansion for $w_{n+2}$ as follows<br />\[<br />w_{n+2}=en!-\sum_{k=1}^r\frac{c_k}{n^k}+O\left(\frac{1}{n^{r+1}}\right),<br />\]<br />where $r\geq 1$ is any fixed integer and the constants $c_k$ are computable. Moreover, we show that the constant of $O$-term does not exceed $e^2B_{r+1}$, where $B_{r+1}$ denotes the $r+1$-th Bell number. \\<br />\textbf{Keywords:} complete graph, the number e, analytic enumeration, asymptotic expansion, bell numbers. در این مقاله تعداد مسیرهای بین دو رأس دلخواه و ثابت در گراف کامل $K_{n+2}$ را بررسی می‌کنیم. نخست نشان می‌دهیم تعداد این مسیرها برابر است با $w_{n+2}=e_n n!$ که در آن $e_n=\sum_{j=0}^n 1/j!$<br />مجموع جزئی سری معرّف عدد $e$ است. سپس با بدست آوردن یک نمایش انتگرالی برای $e_n$، شبیه انتگرال تابع گاما، بسط مجانبی زیر را برای $w_{n+2}$ به‌دست می‌آوریم<br />\[<br />w_{n+2}=en!-\sum_{k=1}^r\frac{c_k}{n^k}+O\left(\frac{1}{n^{r+1}}\right),<br />\]<br />که در آن $r\geqslant 1$ عددی صحیح و دلخواه است و ضرایب $c_k$ قابِل محاسبه و مشخص هستند. ضمناً نشان می‌دهیم که ضریب نماد $O$ در این بسط حداکثر برابر $e^2B_{r+1}$ است، که در آن $B_{r+1}$ عدد بل از مرتبۀ $r+1$ است. https://math-sci.ui.ac.ir/article_26416_e6c4e3251bada462baffd7f6ddc04a35.pdf