ضرب کرونکر و کاربردها

نوع مقاله: مقاله علمی-ترویجی

نویسندگان

دانشگاه قم

چکیده

ضرب کرونکر دو ماتریس که با ‎$ A\otimes B $‎ نشان داده می‌شود، دارای خواص جالبی است که باعث شده در زمینه‌های مختلف اعم از پردازش سیگنال، پردازش تصویر و همچنین در محاسبات کوانتومی به‌طور گسترده‌ای مورد استفاده قرار گیرد. این ضرب خواصی هم‌چون وارون‌پذیری، تعامد، مثلثی، تقارن و بسیاری از خواص دیگر را حفظ می‌کند. اگر ‎$ A $‎ یک ماتریس صفر و یک و یا ماتریس مجاورت یک گراف باشد، توان‌های کرونکری آن منجر به تولید فرکتال‌ها و یا گراف‌های کرونکری می‌شود. یک زمینه پرکاربرد دیگر آن، در حل دستگاه معادلات ماتریسی مانند معادلات سیلوستر ‎$ AX+XB=C $‎ و لیاپانوف ‎$ AX+XA=H $‎ است. این مقاله سعی دارد خواننده را با بعضی ویژگی‌های ضرب کرونکر آشنا نماید. به علاوه برخی کاربردهای آن را، در زمینه تبدیلات سریع، گراف، فرکتال، شبکه‌های خودکار تصادفی، دستگاه معادلات ماتریسی، تجزیه ماتریس به ‌طور مختصر توصیف می‌کند.

کلیدواژه‌ها

موضوعات


[1] G. H. Golub and C. F. Van Loan, Matrix Computations, Johns Hopkins University Press, 1996.

[2] G. NAGY. James, K. NG. Michael and L. Perrone, Kronecker product approximations for image restoration with reflexive boundary conditions, SIAM J. Matrix Anal. Appl., ‎25 (2004) 829-841‎.
[3] A. N. Langvillea and W. J. Stewart, The Kronecker product and stochastic automata networks, J. Comput. Appl. Math., 167 (2004) 429–447.

[4] J. Leskovec, D. Chakrabarti, J. Kleinberg, Ch. Faloutsos and Z. Ghahramani, Kronecker graphs: an approach to modeling networks, J. Mach. Learn. Res., 11 (2010) 985–1042.

[5] M. Nielsen and I. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, 2000.

[6] R. S. Stankovic and B. J. Falkowski, The Haar wavelet transform: its status and achievements, Computers and Electrical Engineering, 29 (2003) 25–44.

[7] W. H. Steeb, Matrix calculus and Kronecker product with applications and C++ programs, World scientific publishing, Singa-pore, 1997.

[8] W. H. Steeb, Chaos, Fractals, CellularAutomata, NeuralNetworks, GeneticAlgorithms, Worldscientificpublishing, Singapore, 2008.

[9] C. F. Van Loan, The Ubiquitous, Kronecker Product, Journal of Computation and Applied Mathematics, 123 (2000) 85–100.

[10] C. F. Van Loan and N. Pitsianis, Approximation with Kronecker Product, Linear Algebra for Large Scale and Real-Time Appli-cations, 123 (1993) 293–314.

[11] J. G. Zehfuss, Ueber eine gewisse Determinante, Zeitschrift für Mathematik und Physik, 3 (1858) 298–301.